Sendo A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ -1 & 0 & 1\end{array}\right], calcular A^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & -1 \\[4pt] -1 & 0 & 1\end{array}\right]
e pede para calcular A^{2}, ou seja a matriz produto A\cdot A.
Informações relevantes dadas:
  • Os elementos de A são a_{11}=1, a_{12}=-2, a_{13}=0;
  • a_{21}=2, a_{22}=1, a_{23}=-1;
  • a_{31}=-1, a_{32}=0, a_{33}=1.
    O objetivo é encontrar cada elemento de A^{2}.]

Passo 2

Regra do produto de matrizes (aplicada a A^{2}): o elemento na linha i e coluna j de A^{2} é
(A^{2})_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,a_{kj}.
Explicando devagarinho:
  • (A^{2})_{ij} é o elemento da linha i e coluna j da matriz A^{2}.
  • A soma vai somar os produtos dos elementos da linha i de A pelos correspondentes da coluna j de A.
  • Vou calcular linha por linha: primeiro todos os elementos da linha 1, depois da linha 2 e por fim da linha 3.

Passo 3

Cálculo da primeira linha de A^{2}.
Elemento (1,1):
(A^{2})_{11}=a_{11}a_{11}+a_{12}a_{21}+a_{13}a_{31}=1\cdot1+(-2)\cdot2+0\cdot(-1)=1-4+0=-3.
Elemento (1,2):
(A^{2})_{12}=a_{11}a_{12}+a_{12}a_{22}+a_{13}a_{32}=1\cdot(-2)+(-2)\cdot1+0\cdot0=-2-2+0=-4.
Elemento (1,3):
(A^{2})_{13}=a_{11}a_{13}+a_{12}a_{23}+a_{13}a_{33}=1\cdot0+(-2)\cdot(-1)+0\cdot1=0+2+0=2.

Passo 4

Cálculo da segunda linha de A^{2}.
Elemento (2,1):
(A^{2})_{21}=a_{21}a_{11}+a_{22}a_{21}+a_{23}a_{31}=2\cdot1+1\cdot2+(-1)\cdot(-1)=2+2+1=5.
Elemento (2,2):
(A^{2})_{22}=a_{21}a_{12}+a_{22}a_{22}+a_{23}a_{32}=2\cdot(-2)+1\cdot1+(-1)\cdot0=-4+1+0=-3.
Elemento (2,3):
(A^{2})_{23}=a_{21}a_{13}+a_{22}a_{23}+a_{23}a_{33}=2\cdot0+1\cdot(-1)+(-1)\cdot1=0-1-1=-2.

Passo 5

Cálculo da terceira linha de A^{2}.
Elemento (3,1):
(A^{2})_{31}=a_{31}a_{11}+a_{32}a_{21}+a_{33}a_{31}=(-1)\cdot1+0\cdot2+1\cdot(-1)=-1+0-1=-2.
Elemento (3,2):
(A^{2})_{32}=a_{31}a_{12}+a_{32}a_{22}+a_{33}a_{32}=(-1)\cdot(-2)+0\cdot1+1\cdot0=2+0+0=2.
Elemento (3,3):
(A^{2})_{33}=a_{31}a_{13}+a_{32}a_{23}+a_{33}a_{33}=(-1)\cdot0+0\cdot(-1)+1\cdot1=0+0+1=1.

Passo 6

Reunindo todos os elementos calculados, temos que
A^{2}=\left[\begin{array}{ccc}-3 & -4 & 2 \\[4pt] 5 & -3 & -2 \\[4pt] -2 & 2 & 1\end{array}\right].
Boa! Já deu para ver passo a passo como aplicar a definição de produto de matrizes. Confere cada entrada com cuidado na prova, linha por linha.]

Resposta

\left[\begin{array}{ccc}-3 & -4 & 2 \\[4pt] 5 & -3 & -2 \\[4pt] -2 & 2 & 1\end{array}\right]]

Exercícios relacionados