Sabendo-se que a matriz \left[\begin{array}{ccc}7 & a^{2} & 3+m \\\\ 9 & 8 & 2 a \\\\ -1 & -6 & 0\end{array}\right] é simétrica, calcule os valores de a e m.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\begin{pmatrix} 7 & a^{2} & 3+m\\[4pt] 9 & 8 & 2a\\[4pt] -1 & -6 & 0 \end{pmatrix}
e pede para calcular os valores de a e m sabendo que essa matriz é simétrica.
As informações úteis extraídas do enunciado (entradas da matriz) são:
  • elemento (1,1): 7;
  • elemento (1,2): a^{2};
  • elemento (1,3): 3+m;
  • elemento (2,1): 9;
  • elemento (2,2): 8;
  • elemento (2,3): 2a;
  • elemento (3,1): -1;
  • elemento (3,2): -6;
  • elemento (3,3): 0.
O que o enunciado pergunta é: determinar a e m de modo que a matriz seja simétrica.]

Passo 2

Relembrando, uma matriz é simétrica quando cada entrada acima da diagonal principal é igual à entrada correspondente abaixo da diagonal principal. Em outras palavras, para todos os índices i e j vale
M_{ij} = M_{ji}.
Isto nos dá igualdades que relacionam as entradas off-diagonais do problema. Vamos escrever essas igualdades usando as entradas fornecidas.

Passo 3

Igualando a entrada (1,2) com (2,1) (pois devem ser iguais numa matriz simétrica):
a^{2}=9.
Para resolver \,a^{2}=9, aplicamos a raiz quadrada em ambos os lados. Isso dá duas soluções possíveis:
a=3 \quad\text{ou}\quad a=-3.
Vou anotar essas possibilidades e verificar com as outras igualdades.

Passo 4

Igualando a entrada (2,3) com (3,2):
2a = -6.
Agora resolvemos essa equação para a. Dividindo ambos os lados por 2 obtemos
a = \frac{-6}{2} = -3.
Esta igualdade elimina a possibilidade a=3 obtida anteriormente, porque apenas a=-3 satisfaz também 2a=-6. Portanto concluímos
a = -3.

Passo 5

Com a já encontrado, passamos a m. Igualando a entrada (1,3) com (3,1):
3 + m = -1.
Subtraindo 3 de ambos os lados:
m = -1 - 3 = -4.

Passo 6

Verificação final: substituindo a=-3 e m=-4 na matriz, obtemos
\begin{pmatrix} 7 & (-3)^{2} & 3+(-4)\\[4pt] 9 & 8 & 2(-3)\\[4pt] -1 & -6 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 9 & -1\\[4pt] 9 & 8 & -6\\[4pt] -1 & -6 & 0 \end{pmatrix}.
Agora conferimos as entradas off-diagonais em pares:
  • (1,2)=9 e (2,1)=9 — OK;
  • (1,3)=-1 e (3,1)=-1 — OK;
  • (2,3)=-6 e (3,2)=-6 — OK.
Todas as igualdades exigidas pela simetria são satisfeitas, logo os valores encontrados estão corretos.]

Resposta

a=-3
m=-4

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