Sendo A=[lll1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1], calcule A^2, A^3, A^4. Generalize este resultado para A^n, (n in N e n >= 1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as potências A^2,A^3,A^4 de
A= 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
e depois encontrar uma fórmula geral para A^n ( ninN, n>=1).
O conteúdo é “potências de matriz triangular unipotente” e vamos usar o fato de que, definindo N=A-I, a parte estritamente triangular N é nilpotente, o que permite aplicar o binômio de Newton para matrizes.

Passo 2

Definimos
N = A - I = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Calculamos N^2 e N^3:
N^2 = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ,
N^3 = Ncdot N^2 = 0

Passo 3

Como N^3=0, o binômio de Newton para matrizes diz
A^n = (I+N)^n = sumk=0^n binomnkN^k = I + n,N + n(n-1)2,N^2

Passo 4

Agora somamos termo a termo:
I + n,N = 1 & n & n 0 & 1 & n 0 & 0 & 1 , n(n-1)2,N^2 = 0 & 0 & tfracn(n-1)2 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Logo
A^n = 1 & n & n + tfracn(n-1)2 0 & 1 & n 0 & 0 & 1 = 1 & n & tfracn(n+1)2 0 & 1 & n 0 & 0 & 1

Passo 5

Bastaplicar n=2,3,4:
A^2 = 1 & 2 & tfrac2cdot32 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 ,
A^3 = 1 & 3 & tfrac3cdot42 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 = 1 & 3 & 6 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 ,
A^4 = 1 & 4 & tfrac4cdot52 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1 = 1 & 4 & 10 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1

Resposta

A^2 = 1 & 2 & 30 & 1 & 20 & 0 & 1
A^3 = 1 & 3 & 60 & 1 & 30 & 0 & 1
A^4 = 1 & 4 & 100 & 1 & 40 & 0 & 1
Em geral, para todo n>=1,
A^n = 1 & n & tfracn(n+1)2 0 & 1 & n 0 & 0 & 1

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