Sendo \mathrm{v}=-10 \cos \left(3 \mathrm{t}+120^{\circ}\right) e \mathrm{i}=-5 \operatorname{sen}\left(3 \mathrm{t}+200^{\circ}\right); Determine:
a) A amplitude da tensão e da corrente;
b) A frequência angular em rad/s, o período em ms e a frequência em hertz;
c) O ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente;

Passo 1

O enunciado fornece duas grandezas senoidais dependentes do tempo:
  • Tensão: \mathrm{v}=-10\cos\left(3\mathrm{t}+120^\circ\right).
  • Corrente: \mathrm{i}=-5\operatorname{sen}\left(3\mathrm{t}+200^\circ\right).
O que o problema pede:
a) A amplitude da tensão e a amplitude da corrente.
b) A frequência angular em rad/s, o período em ms e a frequência em hertz.
c) O ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente (quem está adiantado/atrasado e por quanto).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os coeficientes multiplicando as funções trigonométricas são -10 para a tensão e -5 para a corrente.
  • Os argumentos angulares são 3\mathrm{t}+120^\circ e 3\mathrm{t}+200^\circ: o fator multiplicando \mathrm{t} é 3 em ambos os casos (mesma frequência angular).

Passo 2

O que significa “amplitude” no contexto de sinais senoidais:
  • Uma senóide escrita na forma geral A\cos(\omega t+\varphi) tem amplitude (ou valor de pico) igual a A (valor positivo). Se o número multiplicando a função trigonométrica for negativo, o módulo desse número ainda determina a amplitude; o sinal negativo apenas altera a fase (equivale a um deslocamento de 180^\circ).
  • Em palavras: amplitude = valor absoluto do coeficiente multiplicador da função trigonométrica.

Passo 3

Aplicando isso às funções dadas para encontrar as amplitudes:
  • Para a tensão: o coeficiente é -10, portanto a amplitude da tensão é |-10|=10.
  • Para a corrente: o coeficiente é -5, portanto a amplitude da corrente é |-5|=5.

Passo 4

Definição e cálculo da frequência angular, do período e da frequência:
  • Forma padrão de um sinal senoidal: A\cos(\omega t+\varphi), onde
    \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s},
    T é o período em segundos, e
    f é a frequência em hertz.
  • Relações entre elas: T=\frac{2\pi}{\omega}
f=\frac{\omega}{2\pi}
  • No enunciado o fator multiplicando \mathrm{t} é 3, logo: \omega=3\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Cálculo do período T e conversão para milissegundos:
  • Primeiro em segundos: T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3}\\ \text{(s)}.
  • Valor numérico aproximado: \frac{2\pi}{3}\approx2,0943951\\ \text{(s)}.
  • Convertendo para milissegundos (multiplica-se por 1000): T\approx2094,3951\\ \text{ms}.
  • Para provas normalmente arredonda-se; aqui pode-se usar T\approx2094,4\\ \text{ms}.

Passo 6

Cálculo da frequência f:
  • Usando f=\dfrac{\omega}{2\pi}: f=\frac{3}{2\pi}\\ \text{(Hz)}.
  • Valor numérico aproximado: f\approx0,4774648\\ \text{Hz}.
  • Arredondando para uma resposta prática: f\approx0,4775\\ \text{Hz} (ou f\approx0,477\\ \text{Hz} conforme critério de arredondamento).

Passo 7

Como encontrar o ângulo de defasagem entre tensão e corrente (passo a passo didático):
  • É mais simples comparar fases quando ambas as expressões estão numa forma com a mesma função trigonométrica (por exemplo, ambas em cosseno) e com amplitudes positivas.
  • Identidades úteis: \operatorname{sen}(\alpha)=\cos\!\left(\alpha-90^\circ\right), \qquad -\cos(\alpha)=\cos\!\left(\alpha+180^\circ\right).
  • Vamos converter ambas as grandezas para a forma A\cos(3t+\varphi) com A>0.

Passo 8

Converter a tensão para forma com amplitude positiva:
  • Dada \mathrm{v}=-10\cos\left(3\mathrm{t}+120^\circ\right).
  • Aplicando -\cos(\theta)=\cos(\theta+180^\circ): \mathrm{v}=10\cos\left(3\mathrm{t}+120^\circ+180^\circ\right)=10\cos\left(3\mathrm{t}+300^\circ\right).
  • Portanto a tensão está na forma 10\cos\left(3\mathrm{t}+\varphi_v\right) com \varphi_v=300^\circ.

Passo 9

Converter a corrente para forma com amplitude positiva e em cosseno:
  • Dada \mathrm{i}=-5\operatorname{sen}\left(3\mathrm{t}+200^\circ\right).
  • Primeiro trocar seno por cosseno usando \operatorname{sen}(\alpha)=\cos(\alpha-90^\circ): \mathrm{i}=-5\cos\left(3\mathrm{t}+200^\circ-90^\circ\right)=-5\cos\left(3\mathrm{t}+110^\circ\right).
  • Agora aplicar -\cos(\theta)=\cos(\theta+180^\circ): \mathrm{i}=5\cos\left(3\mathrm{t}+110^\circ+180^\circ\right)=5\cos\left(3\mathrm{t}+290^\circ\right).
  • Portanto a corrente está na forma 5\cos\left(3\mathrm{t}+\varphi_i\right) com \varphi_i=290^\circ.

Passo 10

Calcular a defasagem e interpretá-la:
  • Defasagem entre tensão e corrente pode ser tomada como \Delta\varphi=\varphi_v-\varphi_i.
  • Substituindo: \Delta\varphi=300^\circ-290^\circ=10^\circ.
  • Interpretação física: como \Delta\varphi>0, a tensão está adiantada em relação à corrente; em outras palavras, a corrente atrasa (ou “fica defasada para trás”) em 10^\circ. Costuma-se dizer também que a corrente "está atrasada em 10^\circ" ou "a tensão lidera a corrente em 10^\circ".

Resposta

a) Amplitudes: tensão =10, corrente =5.
b) \omega=3\\ \mathrm{rad/s}, T=\dfrac{2\pi}{3}\approx2094,4\\ \text{ms}, f=\dfrac{3}{2\pi}\approx0,4775\\ \text{Hz}.
c) Ângulo de defasagem: 10^\circ (a tensão antecipa a corrente por 10^\circ).

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