Sendo
e
; Determine:
a) A amplitude da tensão e da corrente;
b) A frequência angular em rad/s, o período em ms e a frequência em hertz;
c) O ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente;
a) A amplitude da tensão e da corrente;
b) A frequência angular em rad/s, o período em ms e a frequência em hertz;
c) O ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente;
Passo 1
O enunciado fornece duas grandezas senoidais dependentes do tempo:
- Tensão:
. - Corrente:
.
O que o problema pede:
a) A amplitude da tensão e a amplitude da corrente.
b) A frequência angular em rad/s, o período em ms e a frequência em hertz.
c) O ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente (quem está adiantado/atrasado e por quanto).
a) A amplitude da tensão e a amplitude da corrente.
b) A frequência angular em rad/s, o período em ms e a frequência em hertz.
c) O ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente (quem está adiantado/atrasado e por quanto).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os coeficientes multiplicando as funções trigonométricas são
para a tensão e para a corrente. - Os argumentos angulares são
e : o fator multiplicando é em ambos os casos (mesma frequência angular).
Passo 2
O que significa “amplitude” no contexto de sinais senoidais:
- Uma senóide escrita na forma geral
tem amplitude (ou valor de pico) igual a (valor positivo). Se o número multiplicando a função trigonométrica for negativo, o módulo desse número ainda determina a amplitude; o sinal negativo apenas altera a fase (equivale a um deslocamento de ). - Em palavras: amplitude = valor absoluto do coeficiente multiplicador da função trigonométrica.
Passo 3
Aplicando isso às funções dadas para encontrar as amplitudes:
- Para a tensão: o coeficiente é
, portanto a amplitude da tensão é . - Para a corrente: o coeficiente é
, portanto a amplitude da corrente é .
Passo 4
Definição e cálculo da frequência angular, do período e da frequência:
- Forma padrão de um sinal senoidal:
, onde
é a frequência angular em ,
é o período em segundos, e
é a frequência em hertz. - Relações entre elas:
- No enunciado o fator multiplicando
é , logo:
Passo 5
Cálculo do período
e conversão para milissegundos:
- Primeiro em segundos:
- Valor numérico aproximado:
- Convertendo para milissegundos (multiplica-se por
): - Para provas normalmente arredonda-se; aqui pode-se usar
.
Passo 6
Cálculo da frequência
:
- Usando
: - Valor numérico aproximado:
- Arredondando para uma resposta prática:
(ou conforme critério de arredondamento).
Passo 7
Como encontrar o ângulo de defasagem entre tensão e corrente (passo a passo didático):
- É mais simples comparar fases quando ambas as expressões estão numa forma com a mesma função trigonométrica (por exemplo, ambas em cosseno) e com amplitudes positivas.
- Identidades úteis:
- Vamos converter ambas as grandezas para a forma
com .
Passo 8
Converter a tensão para forma com amplitude positiva:
- Dada
. - Aplicando
: - Portanto a tensão está na forma
com
Passo 9
Converter a corrente para forma com amplitude positiva e em cosseno:
- Dada
. - Primeiro trocar seno por cosseno usando
: - Agora aplicar
: - Portanto a corrente está na forma
com
Passo 10
Calcular a defasagem e interpretá-la:
- Defasagem entre tensão e corrente pode ser tomada como
- Substituindo:
- Interpretação física: como
, a tensão está adiantada em relação à corrente; em outras palavras, a corrente atrasa (ou “fica defasada para trás”) em . Costuma-se dizer também que a corrente "está atrasada em " ou "a tensão lidera a corrente em ".
Resposta
a) Amplitudes: tensão
, corrente
.
b) ,
,
.
c) Ângulo de defasagem: (a tensão antecipa a corrente por
).
b)
c) Ângulo de defasagem: