Sendo sen(x) = -1/4, com pi < x < 3pi/2, determine tan(x) e sec(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver um exercício de trigonometria onde sabemos que e que o ângulo x está entre pi e , ou seja, no terceiro quadrante. Nosso objetivo é descobrir os valores de e . Para isso, vamos precisar lembrar das relações básicas entre as funções trigonométricas, especialmente a identidade pitagórica e as definições de e .

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade pitagórica, que diz que:
Como já sabemos que , podemos substituir esse valor na identidade para encontrar .

Passo 3

Substituindo na identidade:
Agora, isolamos :

Passo 4

Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Mas atenção! Como o ângulo x está no terceiro quadrante, onde tanto o seno quanto o cosseno são negativos, temos que também é negativo:

Passo 5

Agora que temos e , podemos calcular usando a definição:

Passo 6

Para encontrar , usamos a definição de secante, que é o inverso do cosseno:

Resposta

Portanto, os valores são:

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