Sendo a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição de
a. a., calcular a taxa efetiva anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja:
semestral.
semestral.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que recebemos):
- Taxa nominal anual cobrada:
ao ano. - Período de capitalização: semestral (ou seja,
capitalizações por ano).
O que o problema pede: - Calcular a taxa efetiva anual correspondente a essa taxa nominal com capitalização semestral.
Passo 2
Conceitos e fórmulas importantes (explicação didática):
- Uma taxa nominal anual com capitalização
vezes por ano, que vou chamar de , não é a taxa que efetivamente se aplica ao ano inteiro; ela diz apenas quanto é a soma das taxas periódicas dentro do ano. Para obter a taxa periódica (a cada período de capitalização) divide-se a taxa nominal por . - Se a taxa periódica for
e há períodos por ano, a taxa efetiva anual é o fator de crescimento ao longo de um ano menos 1. Ou seja, aplicar a taxa periódica vezes compõe juros e resulta em:
- Aqui cada símbolo significa:
-
: taxa nominal anual com capitalizações por ano; -
: número de capitalizações por ano (aqui ); -
: taxa aplicada em cada período (a cada semestre); -
: taxa efetiva acumulada em um ano inteiro.
-
Passo 3
Calcular a taxa periódica semestral a partir da taxa nominal:
- A taxa nominal anual é
(estou escrevendo em forma decimal: ). - Como há
semestres por ano, a taxa por semestre é
Isso significa que a cada semestre os valores crescem em
relativo ao início do semestre.
Passo 4
Aplicar a fórmula da taxa efetiva anual:
- Usando
, substituímos e :
- Calculemos o quadrado passo a passo (forma que dá para fazer sem calculadora):
- Portanto
- Convertendo para porcentagem:
Passo 5
Interpretação final e dica prática:
- A taxa efetiva anual de
é a taxa real que descreve quanto um capital cresce em um ano quando os juros de são aplicados e compostos semestralmente. - Dica rápida: sempre que tiver uma taxa nominal com capitalizações periódicas, divida por
para achar a taxa por período e depois use para passar para efetiva anual.