Sendo a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição de 24 \% a. a., calcular a taxa efetiva anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja:
semestral.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que recebemos):
  • Taxa nominal anual cobrada: 24\% ao ano.
  • Período de capitalização: semestral (ou seja, 2 capitalizações por ano).
    O que o problema pede:
  • Calcular a taxa efetiva anual correspondente a essa taxa nominal com capitalização semestral.

Passo 2

Conceitos e fórmulas importantes (explicação didática):
  • Uma taxa nominal anual com capitalização m vezes por ano, que vou chamar de i^{(m)}, não é a taxa que efetivamente se aplica ao ano inteiro; ela diz apenas quanto é a soma das taxas periódicas dentro do ano. Para obter a taxa periódica (a cada período de capitalização) divide-se a taxa nominal por m.
  • Se a taxa periódica for i_{\text{per}} e há m períodos por ano, a taxa efetiva anual i_{\text{efetiva}} é o fator de crescimento ao longo de um ano menos 1. Ou seja, aplicar a taxa periódica m vezes compõe juros e resulta em:
i_{\text{efetiva}} = (1 + i_{\text{per}})^{m} - 1.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • i^{(m)}: taxa nominal anual com m capitalizações por ano;
    • m: número de capitalizações por ano (aqui m=2);
    • i_{\text{per}}: taxa aplicada em cada período (a cada semestre);
    • i_{\text{efetiva}}: taxa efetiva acumulada em um ano inteiro.

Passo 3

Calcular a taxa periódica semestral a partir da taxa nominal:
  • A taxa nominal anual é \,i^{(2)}=0,24 (estou escrevendo em forma decimal: 24\% = 0,24).
  • Como há m=2 semestres por ano, a taxa por semestre é
i_{\text{per}}=\frac{i^{(2)}}{m}=\frac{0,24}{2}=0,12.
Isso significa que a cada semestre os valores crescem em 12\% relativo ao início do semestre.

Passo 4

Aplicar a fórmula da taxa efetiva anual:
  • Usando \,i_{\text{efetiva}}=(1+i_{\text{per}})^{m}-1, substituímos i_{\text{per}}=0,12 e m=2:
i_{\text{efetiva}}=(1+0,12)^{2}-1.
  • Calculemos o quadrado passo a passo (forma que dá para fazer sem calculadora):
(1+0,12)^{2}=1+2\cdot0,12+(0,12)^{2}=1+0,24+0,0144=1,2544.
  • Portanto
i_{\text{efetiva}}=1,2544-1=0,2544.
  • Convertendo para porcentagem:
i_{\text{efetiva}}=0,2544=25,44\%.

Passo 5

Interpretação final e dica prática:
  • A taxa efetiva anual de 25,44\% é a taxa real que descreve quanto um capital cresce em um ano quando os juros de 12\% são aplicados e compostos semestralmente.
  • Dica rápida: sempre que tiver uma taxa nominal com capitalizações periódicas, divida por m para achar a taxa por período e depois use (1+i_{\text{per}})^m-1 para passar para efetiva anual.

Resposta

25,44\%

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