Determine o montante produzido por uma aplicação de
300$ pelo prazo de 2 meses, conforme as taxas abaixo:
- Taxa de juros compostos de 10% a.m.
- Taxa de juros compostos de 21% a.b.
Verifica-se a equivalência das taxas? Justifique.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se o montante produzido por uma aplicação de
durante 2 meses em dois cenários distintos: - Taxa de juros compostos de
a.m. (ao mês). - Taxa de juros compostos de
a.b. (ao bimestre).
- Taxa de juros compostos de
- Pergunta adicional: verificar se as duas taxas são equivalentes (ou seja, produzem o mesmo efeito no mesmo prazo) e justificar.
Informações relevantes dadas:
- Capital inicial
. - Prazo total:
meses. - Taxa mensal para o caso (1):
ao mês. - Taxa para o caso (2):
ao bimestre (período de 2 meses).
Passo 2
Fórmula de juros compostos e explicação das variáveis (a “aula” prática):
- Em juros compostos, o montante
após períodos é dado por
onde:
-
é o capital inicial (o que se aplica), -
é a taxa de juros por período (expressa como número decimal; por exemplo vira ), -
é o número de períodos (quantas vezes a taxa é aplicada). - Importante: sempre coerência entre o período da taxa e o prazo. Se a taxa é mensal,
deve ser o número de meses; se a taxa é bimestral (a.b.), é o número de bimestres.
Dica prática: para comparar duas taxas, converte-se ambas para a mesma base de período (ou calcula-se o montante no mesmo prazo); se o fator
for igual, as taxas são equivalentes para esse prazo.
Passo 3
Cálculo do montante com
a.m. para 2 meses:
- Aqui a taxa é mensal
e o prazo são meses. Aplicando a fórmula:
- Calcule passo a passo:
(abraço prático: multiplicar
por
é o mesmo que
.)
Passo 4
Cálculo do montante com
a.b. para 2 meses:
- Aqui a taxa é bimestral (período igual ao prazo), então
por bimestre e bimestre (porque 2 meses = 1 bimestre). Aplicando a fórmula:
- Calcule:
Passo 5
Verificação de equivalência e justificativa teórica:
- Observação prática: ambos os casos deram o mesmo montante
. - Justificativa matemática: converte-se a taxa mensal para a taxa efetiva em 2 meses. Se a taxa mensal é
, a taxa efetiva em 2 meses é
- Assim, a taxa de
ao mês, composta, corresponde exatamente a ao bimestre como taxa efetiva para o período de 2 meses. Portanto as taxas são equivalentes para o prazo de 2 meses.
Resposta
Sim.