Determine o montante produzido por uma aplicação de \mathrm{R} \ 300$ pelo prazo de 2 meses, conforme as taxas abaixo:
  • Taxa de juros compostos de 10% a.m.
  • Taxa de juros compostos de 21% a.b.
Verifica-se a equivalência das taxas? Justifique.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se o montante produzido por uma aplicação de \mathrm{R}\$\,300 durante 2 meses em dois cenários distintos:
    1. Taxa de juros compostos de 10\% a.m. (ao mês).
    2. Taxa de juros compostos de 21\% a.b. (ao bimestre).
  • Pergunta adicional: verificar se as duas taxas são equivalentes (ou seja, produzem o mesmo efeito no mesmo prazo) e justificar.
Informações relevantes dadas:
  • Capital inicial P = \mathrm{R}\$\,300.
  • Prazo total: 2 meses.
  • Taxa mensal para o caso (1): 10\% ao mês.
  • Taxa para o caso (2): 21\% ao bimestre (período de 2 meses).

Passo 2

Fórmula de juros compostos e explicação das variáveis (a “aula” prática):
  • Em juros compostos, o montante M após n períodos é dado por
M = P(1+i)^{n},
onde:
  • P é o capital inicial (o que se aplica),
  • i é a taxa de juros por período (expressa como número decimal; por exemplo 10\% vira 0,10),
  • n é o número de períodos (quantas vezes a taxa é aplicada).
  • Importante: sempre coerência entre o período da taxa e o prazo. Se a taxa é mensal, n deve ser o número de meses; se a taxa é bimestral (a.b.), n é o número de bimestres.
Dica prática: para comparar duas taxas, converte-se ambas para a mesma base de período (ou calcula-se o montante no mesmo prazo); se o fator (1+i)^n for igual, as taxas são equivalentes para esse prazo.

Passo 3

Cálculo do montante com 10\% a.m. para 2 meses:
  • Aqui a taxa é mensal i=10\%=0,10 e o prazo são n=2 meses. Aplicando a fórmula:
M = P(1+i)^{n} = \mathrm{R}\$\,300 \cdot (1+0,10)^{2}.
  • Calcule passo a passo:
1+0,10 = 1,10,
(1,10)^{2} = 1,10 \times 1,10 = 1,21,
M = \mathrm{R}\$\,300 \times 1,21 = \mathrm{R}\$\,363{,}00.
(abraço prático: multiplicar 300 por 1{,}21 é o mesmo que 300 + 0{,}21\times300 = 300 + 63 = 363.)

Passo 4

Cálculo do montante com 21\% a.b. para 2 meses:
  • Aqui a taxa é bimestral (período igual ao prazo), então i=21\%=0,21 por bimestre e n=1 bimestre (porque 2 meses = 1 bimestre). Aplicando a fórmula:
M = P(1+i)^{n} = \mathrm{R}\$\,300 \cdot (1+0,21)^{1}.
  • Calcule:
1+0,21 = 1,21,
M = \mathrm{R}\$\,300 \times 1,21 = \mathrm{R}\$\,363{,}00.

Passo 5

Verificação de equivalência e justificativa teórica:
  • Observação prática: ambos os casos deram o mesmo montante \mathrm{R}\$\,363{,}00.
  • Justificativa matemática: converte-se a taxa mensal para a taxa efetiva em 2 meses. Se a taxa mensal é i_{\text{m}}=0,10, a taxa efetiva em 2 meses é
i_{2\text{ meses}} = (1+i_{\text{m}})^{2}-1 = (1{,}10)^{2}-1 = 1{,}21-1 = 0{,}21 = 21\%.
  • Assim, a taxa de 10\% ao mês, composta, corresponde exatamente a 21\% ao bimestre como taxa efetiva para o período de 2 meses. Portanto as taxas são equivalentes para o prazo de 2 meses.

Resposta

\mathrm{R}\$\,363{,}00
\mathrm{R}\$\,363{,}00
Sim.

Exercícios relacionados