1. Sendo X, A e B matrizes quadradas de ordem n e A inversível, prove que:
\mathrm{XA}=\mathrm{B} \Rightarrow \mathrm{X}=\mathrm{B} A^{-1}

Passo 1

O enunciado dá três matrizes quadradas de ordem n: X, A e B, com a condição de que A é inversível. Pede-se para provar que, se
X\,A = B,
então necessariamente
X = B\,A^{-1}.
Vamos usar a propriedade fundamental de matrizes inversíveis, isto é, A\,A^{-1}=I, e a associatividade da multiplicação de matrizes.

Passo 2

Multiplicamos a equação X\,A = B à direita por A^{-1}$, obtendo
(X\,A)\,A^{-1} \;=\; B\,A^{-1}.
Pela associatividade da multiplicação, temos
X\,(A\,A^{-1}) \;=\; B\,A^{-1}.

Passo 3

Como A é inversível, A\,A^{-1}=I. Logo
X\,I = B\,A^{-1}.
E como multiplicar por I não altera nenhuma matriz, X\,I = X. Portanto
X = B\,A^{-1}.

Resposta

X = B\,A^{-1}.

Exercícios relacionados