O enunciado diz que X\sim U[0,4] e pede a probabilidade
P(X<2).
Informações dadas:
A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [0,4].
Queremos a probabilidade de X ser menor que 2.
Passo 2
O que significa X\sim U[0,4]? Vou explicar passo a passo de modo simples e sem jargão: a distribuição uniforme contínua em [a,b] atribui a mesma “densidade” a todo ponto do intervalo [a,b] e zero fora desse intervalo. No nosso caso, a=0 e b=4.
Passo 3
A função densidade de probabilidade (pdf) da uniforme em [0,4]\) é
\[f_X(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{4-0}=\frac{1}{4}, & \text{se }0\le x\le 4,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Explicando: a área total sob a curva f_X(x)\] tem que ser \(1. Como a curva é uma reta horizontal no intervalo de comprimento 4, a altura deve ser \frac{1}{4} para que a área (base 4 vezes altura \tfrac{1}{4}) dê 1.]
Passo 4
Para variáveis contínuas, uma probabilidade como P(X<2) é a integral da densidade até 2. Como a densidade é zero abaixo de 0, temos
Aqui usei que os valores relevantes começam em 0, porque fora do intervalo [0,4] a densidade é zero.
Passo 5
Calculemos a integral passo a passo (sem pular etapas): a integral de uma constante \frac{1}{4} em relação a x é \frac{1}{4}x. Avaliando entre 0 e 2 dá
Há também uma fórmula direta e muito útil para a uniforme: se X\sim U[a,b] e a\le c\le b, então
P(X<c)=\frac{c-a}{b-a}.
Aplicando aqui com a=0, b=4 e c=2 obtemos
P(X<2)=\frac{2-0}{4-0}=\frac{2}{4}.
Essa fórmula é só a expressão da razão entre o comprimento do subintervalo favorável e o comprimento total do intervalo, já que a densidade é constante.
Passo 7
Intuição final (rápida e motivadora): o ponto 2 está exatamente na metade do intervalo [0,4]. Como a distribuição é uniforme, a probabilidade de cair na primeira metade é a metade da probabilidade total, ou seja, “metade de 1”. Agora vamos escrever a resposta final de forma objetiva.