Suponha que f(x)=0,5 \cos x, para \frac{-\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}. Determine a função acumulada de probabilidade e Calcule
(a) P(X<0)
(b) P\left(-\frac{\pi}{4} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}\right) \text{(c)} \(P\left(X<-\frac{\pi}{4}\right) (d) \(P\left(X>-\frac{\pi}{4}\right) (e) Determine \(x tal que P(X<x)=0,95.
R. F(x)=\\{\begin{array}{cr}0, & x \leqslant-\frac{\pi}{2}, \\ 0,5 \sin (x)+0,5, & \frac{-\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, \\ 1, & x \geqslant \frac{\pi}{2} .\end{array}\\} (a) 0,5 ; (b) 0,7071 ; \text{(c)} 0,1464; (d) 0,8535; (e) 1,1197 radianos

Passo 1

Dados e pedidos (vou listar exatamente o que o enunciado fornece e o que pede, para a gente não se perder):
  • Foi dada a densidade de probabilidade
f(x)=0,5\cos x,\qquad \frac{-\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}.
  • Perguntas:
    1. Determinar a função acumulada de probabilidade F(x).
    2. Calcular (a) P(X<0).
    3. Calcular (b) P\!\left(-\frac{\pi}{4}\le x\le\frac{\pi}{4}\right).
    4. Calcular (c) P\!\left(X<-\frac{\pi}{4}\right).
    5. Calcular (d) P\!\left(X>-\frac{\pi}{4}\right).
    6. (e) Determinar x tal que P(X<x)=0,95.

Passo 2

Verificação rápida (não obrigatória, mas importante para entender a função): a densidade deve integrar 1 na sua suporte. Vou mostrar isso porque isso justifica usar essa f como densidade.
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}0,5\cos x\,dx=0,5\big[\sin x\big]_{-\pi/2}^{\pi/2}=0,5(\sin(\pi/2)-\sin(-\pi/2))=0,5(1-(-1))=1.
Logo f é uma densidade válida.

Passo 3

Definição e estratégia para achar F(x):
  • A função acumulada F é definida por
F(x)=P(X\le x).
  • Para uma densidade contínua com suporte \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] temos, para x dentro do suporte,
F(x)=\int_{-\pi/2}^{x} f(t)\,dt.
Vou calcular essa integral e depois completar F(x) para x fora do suporte (valores extremos).

Passo 4

Cálculo da integral para F(x) dentro do suporte:
  • Integro f(t)=0,5\cos t:
\int 0,5\cos t\,dt=0,5\sin t + C.
  • Avaliando de t=-\dfrac{\pi}{2} até t=x:
F(x)=\big[0,5\sin t\big]_{-\pi/2}^{x}=0,5\sin x - 0,5\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right).
  • Como \sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1, isto dá
F(x)=0,5\sin x - 0,5(-1)=0,5\sin x + 0,5,
para -\dfrac{\pi}{2}\le x\le \dfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Completando a forma por partes (mania de estatístico: deixar a peça completa):
  • Para x\le -\dfrac{\pi}{2} não há massa à esquerda, logo F(x)=0.
  • Para -\dfrac{\pi}{2}\le x\le \dfrac{\pi}{2} já achamos F(x)=0,5\sin x + 0,5.
  • Para x\ge \dfrac{\pi}{2} toda a massa já foi acumulada, então F(x)=1.
    Assim a função acumulada é (forma final)
F(x)= \begin{cases} 0, & x\le -\dfrac{\pi}{2},\\[4pt] 0,5\sin x + 0,5, & -\dfrac{\pi}{2}\le x\le \dfrac{\pi}{2},\\[4pt] 1, & x\ge \dfrac{\pi}{2}. \end{cases}]

Passo 6

Cálculo (a) P(X<0):
  • A distribuição é contínua, portanto P(X<0)=P(X\le 0)=F(0).
  • Use a fórmula dentro do suporte:
F(0)=0,5\sin 0 + 0,5 = 0,5\cdot 0 + 0,5 = 0,5.
Logo P(X<0)=0,5.

Passo 7

Cálculo (b) P\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\le x\le \dfrac{\pi}{4}\right):
  • Para intervalos fechados usamos a diferença de F:
P\!\left(-\frac{\pi}{4}\le X\le \frac{\pi}{4}\right)=F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-F\!\left(-\frac{\pi}{4}\right).
  • Calcule F nos pontos (sabendo \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} e \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}):
F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=0,5\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+0,5=0,25\sqrt{2}+0,5,
F\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0,5\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+0,5=-0,25\sqrt{2}+0,5.
  • Subtraindo:
P= (0,25\sqrt{2}+0,5)-(-0,25\sqrt{2}+0,5)=0,5\sqrt{2}.
  • Em valor decimal (aprox. 4 casas decimais):
0,5\sqrt{2}\approx 0,7071.

Passo 8

Cálculo (c) P\!\left(X<-\dfrac{\pi}{4}\right):
  • Novamente, por continuidade, P(X<-\dfrac{\pi}{4})=F\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right).
  • Já calculamos F\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-0,25\sqrt{2}+0,5.
  • Valor numérico:
-0,25\sqrt{2}+0,5=0,5-0,25\cdot 1,41421356\ldots\approx 0,1464466\approx 0,1464.

Passo 9

Cálculo (d) P\!\left(X>-\dfrac{\pi}{4}\right):
  • Usa complemento:
P\!\left(X>-\frac{\pi}{4}\right)=1-P\!\left(X\le -\frac{\pi}{4}\right)=1-F\!\left(-\frac{\pi}{4}\right).
  • Como F\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\approx 0,1464466,
P\!\left(X>-\frac{\pi}{4}\right)\approx 1-0,1464466\approx 0,8535534\approx 0,8535.

Passo 10

Cálculo (e) determinar x tal que P(X<x)=0,95:
  • Para x dentro do suporte resolvemos F(x)=0,95. Usamos a expressão interna:
0,5\sin x + 0,5 = 0,95.
  • Isolando \sin x:
0,5\sin x = 0,45\quad\Rightarrow\quad \sin x = 0,9.
  • Como o suporte é \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] e \arcsin(0,9) está nesse intervalo, a solução é
x=\arcsin(0,9).
  • Em valor numérico (radianos), usando aproximação:
x\approx 1,11976951\\ \text{radianos}\approx 1,1197\\ \text{radianos}.

Resposta

F(x)= \begin{cases} 0, & x\le -\dfrac{\pi}{2},\\[4pt] 0,5\sin x + 0,5, & -\dfrac{\pi}{2}\le x\le \dfrac{\pi}{2},\\[4pt] 1, & x\ge \dfrac{\pi}{2}, \end{cases}
(a) 0,5
(b) 0,7071
(c) 0,1464
(d) 0,8535
(e) 1,1197 radianos]

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