Sendo
, determine:
.
Passo 1
O enunciado diz que
segue uma distribuição exponencial com parâmetro
, isto é
, e pede a probabilidade
Informações relevantes do enunciado:
- A variável aleatória é
. - A distribuição é exponencial com parâmetro
. - Queremos a probabilidade de
ser maior que .
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a definição da função densidade de probabilidade (f.d.p.) para uma variável com distribuição exponencial. Para uma exponencial com parâmetro
, a f.d.p. é
onde:
-
é a taxa (um número positivo) que controla a “decadência” da distribuição; -
é o valor da variável aleatória (aqui ).
No nosso caso
, portanto a f.d.p. fica
Passo 3
Uma maneira direta de calcular
é usar a chamada função sobrevivência (survival function), que é
, onde
é a função de distribuição acumulada (F.D.A.). Para a exponencial temos a F.D.A.
Explicando como se obtém isso: integra-se a f.d.p. de
até
,
e essa integral dá
(posso detalhar a integral se você quiser). Logo a sobrevivência é
Passo 4
Aplicando ao nosso caso com
e
, obtemos diretamente
Passo 5
Como checagem, podemos calcular
pela integral da f.d.p. de
até
. Isso é
Calculamos a integral usando primitivação:
Portanto
porque
. Resultado consistente com o passo anterior.
Passo 6
Interpretação rápida e número aproximado:
é um número pequeno, cerca de
. Isso significa que, para uma exponencial com taxa
, a chance de a variável exceder
é aproximadamente
.