Sendo Y \sim \operatorname{Exp}(1), determine:
P(Y>3).

Passo 1

O enunciado diz que Y segue uma distribuição exponencial com parâmetro 1, isto é Y \sim \operatorname{Exp}(1), e pede a probabilidade
P(Y>3).
Informações relevantes do enunciado:
  • A variável aleatória é Y.
  • A distribuição é exponencial com parâmetro \lambda=1.
  • Queremos a probabilidade de Y ser maior que 3.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a definição da função densidade de probabilidade (f.d.p.) para uma variável com distribuição exponencial. Para uma exponencial com parâmetro \lambda>0, a f.d.p. é
f(y)=\lambda e^{-\lambda y},\qquad y\ge 0,
onde:
  • \lambda é a taxa (um número positivo) que controla a “decadência” da distribuição;
  • y é o valor da variável aleatória (aqui y\ge 0).
No nosso caso \lambda=1, portanto a f.d.p. fica
f(y)=e^{-y},\qquad y\ge 0.

Passo 3

Uma maneira direta de calcular P(Y>3) é usar a chamada função sobrevivência (survival function), que é S(y)=P(Y>y)=1-F(y), onde F é a função de distribuição acumulada (F.D.A.). Para a exponencial temos a F.D.A.
F(y)=1-e^{-\lambda y},\qquad y\ge 0.
Explicando como se obtém isso: integra-se a f.d.p. de 0 até y,
F(y)=\int_{0}^{y} \lambda e^{-\lambda t}\,dt
e essa integral dá 1-e^{-\lambda y} (posso detalhar a integral se você quiser). Logo a sobrevivência é
S(y)=1-F(y)=e^{-\lambda y}.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso com \lambda=1 e y=3, obtemos diretamente
P(Y>3)=S(3)=e^{-1\cdot 3}=e^{-3}.

Passo 5

Como checagem, podemos calcular P(Y>3) pela integral da f.d.p. de 3 até \infty. Isso é
P(Y>3)=\int_{3}^{\infty} e^{-y}\,dy.
Calculamos a integral usando primitivação:
\int e^{-y}\,dy = -e^{-y} + C.
Portanto
\int_{3}^{\infty} e^{-y}\,dy = \lim_{b\to\infty}\left[-e^{-y}\right]_{3}^{b} = \lim_{b\to\infty} \left(-e^{-b} + e^{-3}\right)= e^{-3},
porque \lim_{b\to\infty} e^{-b}=0. Resultado consistente com o passo anterior.

Passo 6

Interpretação rápida e número aproximado: e^{-3} é um número pequeno, cerca de 0{,}0498. Isso significa que, para uma exponencial com taxa 1, a chance de a variável exceder 3 é aproximadamente 4{,}98\%.

Resposta

e^{-3}

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