Sendo
, determine:
.
Passo 1
O enunciado dá que
segue uma distribuição exponencial com parâmetro
, ou seja
, e pede a probabilidade
Informações relevantes que temos:
- O parâmetro da exponencial é
. - A variável
só assume valores (suporte da exponencial). - Queremos a probabilidade de
estar entre e .
Passo 2
O primeiro ingrediente é a função densidade de probabilidade (pdf) da exponencial com taxa
Explicando:
. A constante
controla a rapidez do decaimento; aqui
simplifica para
. Essa função é não-negativa e integrada no suporte dá
, garantindo que é uma pdf válida.]
Passo 3
A função de distribuição acumulada (cdf)
é obtida integrando a pdf desde
até
(porque para a exponencial o suporte começa em
):
Calculemos essa integral explicitamente. A primitiva de
é
. Assim,
Portanto, para
,
Observe que
, o que faz sentido: a probabilidade acumulada até
é zero (na exponencial contínua não há massa em pontos isolados).
Passo 4
Para variáveis contínuas vale a relação
Aplicando com
e
,
Usando a expressão de
,
Logo
Como verificação alternativa, podemos calcular a integral diretamente:
que dá o mesmo resultado.
Passo 5
Interpretação numérica (opcional, só para sentir o tamanho da probabilidade):
, então
Ou seja, aproximadamente
de probabilidade de
cair entre
e
.