Sendo Y \sim \operatorname{Exp}(1), determine:
P(0<Y<2).

Passo 1

O enunciado dá que Y segue uma distribuição exponencial com parâmetro 1, ou seja Y \sim \operatorname{Exp}(1), e pede a probabilidade
P(0<Y<2).
Informações relevantes que temos:
  • O parâmetro da exponencial é \lambda=1.
  • A variável Y só assume valores Y\ge 0 (suporte da exponencial).
  • Queremos a probabilidade de Y estar entre 0 e 2.

Passo 2

O primeiro ingrediente é a função densidade de probabilidade (pdf) da exponencial com taxa \lambda\). Para \(\lambda=1\) a pdf é \[f_Y(y)=\begin{cases} e^{-y}, & y\ge 0,\\[4pt] 0, & y<0.\end{cases}
Explicando: f_Y(y)\] dá a "densidade" de probabilidade em torno do ponto \(y. A constante \lambda controla a rapidez do decaimento; aqui \lambda=1 simplifica para e^{-y}. Essa função é não-negativa e integrada no suporte dá 1, garantindo que é uma pdf válida.]

Passo 3

A função de distribuição acumulada (cdf) F_Y(y) é obtida integrando a pdf desde 0 até y (porque para a exponencial o suporte começa em 0):
F_Y(y)=\int_{0}^{y} e^{-t}\,dt\quad\text{para }y\ge 0.
Calculemos essa integral explicitamente. A primitiva de e^{-t} é -e^{-t}. Assim,
F_Y(y)=\Big[-e^{-t}\Big]_{t=0}^{t=y} = -e^{-y}-\big(-e^{0}\big)=1-e^{-y}.
Portanto, para y\ge 0,
F_Y(y)=1-e^{-y}.
Observe que F_Y(0)=1-e^{0}=0, o que faz sentido: a probabilidade acumulada até 0 é zero (na exponencial contínua não há massa em pontos isolados).

Passo 4

Para variáveis contínuas vale a relação
P(a<Y<b)=F_Y(b)-F_Y(a).
Aplicando com a=0 e b=2,
P(0<Y<2)=F_Y(2)-F_Y(0).
Usando a expressão de F_Y,
F_Y(2)=1-e^{-2}, \qquad F_Y(0)=0.
Logo
P(0<Y<2)=1-e^{-2}.
Como verificação alternativa, podemos calcular a integral diretamente:
P(0<Y<2)=\int_{0}^{2} e^{-y}\,dy = \Big[-e^{-y}\Big]_0^2 = 1-e^{-2},
que dá o mesmo resultado.

Passo 5

Interpretação numérica (opcional, só para sentir o tamanho da probabilidade): e^{-2}\approx 0{,}135335, então
1-e^{-2}\approx 0{,}864665.
Ou seja, aproximadamente 86{,}47\% de probabilidade de Y cair entre 0 e 2.

Resposta

1-e^{-2}

Exercícios relacionados