na sequencia, (
) qual é o decimo termo?
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pergunta qual é o décimo termo. Informações relevantes fornecidas:
- Termo de índice
: . - Termo de índice
: . - Termo de índice
: . - Termo de índice
: .
O objetivo é encontrar.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): uma sequência pode vir de uma regra explícita
em função de
ou de uma regra recursiva. Uma técnica simples quando se tem poucos termos é estudar as diferenças entre termos sucessivos (diferenças finitas). Se as diferenças de certa ordem ficam constantes, a sequência é gerada por um polinômio de grau igual àquela ordem. Vou calcular as diferenças e ver o que aparece.
Passo 3
Calcular as diferenças de primeira, segunda e terceira ordem:
- Diferenças de primeira ordem:
- Diferenças de segunda ordem:
- Diferença de terceira ordem entre essas segundas diferenças:
Observação importante: só há quatro termos iniciais, então só podemos calcular até a terceira diferença uma vez. A presença de uma terceira diferença (aqui
) sugere experimentar um polinômio de grau 3 que passa por esses quatro pontos; para polinômios, a primeira ordem não constante, segunda ordem não constante, mas terceira ordem constante indica um polinômio cúbico gerando a sequência.
Passo 4
Montar o polinômio cúbico genérico e as equações: suponha que exista um polinômio
tal que
,
,
,
. Aqui
são constantes a determinar;
é o índice da sequência.
As equações são:
As equações são:
Passo 5
Resolver o sistema subtraindo equações consecutivas para simplificar (isso corresponde a usar as diferenças):
Subtrair as duas primeiras dessas equações:
Subtrair as últimas duas:
Agora subtrair as duas equações obtidas para achar
:
Com
, obtemos
por
:
Voltar à equação
para achar
:
Finalmente usar
para achar
:
Passo 6
Portanto o polinômio que gera a sequência é
Verificação rápida com os termos dados:
ou seja, bate certinho.
Passo 7
Calcular o décimo termo usando a fórmula encontrada. Substituir
:
Se preferir ver pelo método das diferenças (continuação das tabelas): a terceira diferença constante
permite continuar as segundas diferenças adicionando
a cada passo, depois somar para obter as primeiras diferenças e finalmente os termos; isso leva ao mesmo resultado
.