na sequencia, ( 23,36,65,116 ) qual é o decimo termo?

Passo 1

O enunciado dá a sequência (23,36,65,116) e pergunta qual é o décimo termo. Informações relevantes fornecidas:
  • Termo de índice 1: a_1=23.
  • Termo de índice 2: a_2=36.
  • Termo de índice 3: a_3=65.
  • Termo de índice 4: a_4=116.
    O objetivo é encontrar a_{10}.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): uma sequência pode vir de uma regra explícita a_n em função de n ou de uma regra recursiva. Uma técnica simples quando se tem poucos termos é estudar as diferenças entre termos sucessivos (diferenças finitas). Se as diferenças de certa ordem ficam constantes, a sequência é gerada por um polinômio de grau igual àquela ordem. Vou calcular as diferenças e ver o que aparece.

Passo 3

Calcular as diferenças de primeira, segunda e terceira ordem:
  • Diferenças de primeira ordem: \begin{aligned} \Delta_1 &= a_2-a_1 = 36-23 = 13,\\\ \Delta_2 &= a_3-a_2 = 65-36 = 29,\\\ \Delta_3 &= a_4-a_3 = 116-65 = 51. \end{aligned}
  • Diferenças de segunda ordem: \begin{aligned} \Delta^{(2)}_1 &= \Delta_2-\Delta_1 = 29-13 = 16,\\\ \Delta^{(2)}_2 &= \Delta_3-\Delta_2 = 51-29 = 22. \end{aligned}
  • Diferença de terceira ordem entre essas segundas diferenças: \Delta^{(3)}_1 = \Delta^{(2)}_2-\Delta^{(2)}_1 = 22-16 = 6.
Observação importante: só há quatro termos iniciais, então só podemos calcular até a terceira diferença uma vez. A presença de uma terceira diferença (aqui 6) sugere experimentar um polinômio de grau 3 que passa por esses quatro pontos; para polinômios, a primeira ordem não constante, segunda ordem não constante, mas terceira ordem constante indica um polinômio cúbico gerando a sequência.

Passo 4

Montar o polinômio cúbico genérico e as equações: suponha que exista um polinômio
p(n)=an^3+bn^2+cn+d
tal que p(1)=a_1, p(2)=a_2, p(3)=a_3, p(4)=a_4. Aqui a,b,c,d são constantes a determinar; n é o índice da sequência.
As equações são:
\begin{aligned} a+b+c+d &= 23,\\\\ 8a+4b+2c+d &= 36,\\\\ 27a+9b+3c+d &= 65,\\\\ 64a+16b+4c+d &= 116. \end{aligned}

Passo 5

Resolver o sistema subtraindo equações consecutivas para simplificar (isso corresponde a usar as diferenças):
\begin{aligned} (8a+4b+2c+d)-(a+b+c+d) &= 7a+3b+c = 13,\\\ (27a+9b+3c+d)-(8a+4b+2c+d) &= 19a+5b+c = 29,\\\ (64a+16b+4c+d)-(27a+9b+3c+d) &= 37a+7b+c = 51. \end{aligned}
Subtrair as duas primeiras dessas equações:
(19a+5b+c)-(7a+3b+c)=12a+2b=16 \quad\Rightarrow\quad 6a+b=8.
Subtrair as últimas duas:
(37a+7b+c)-(19a+5b+c)=18a+2b=22 \quad\Rightarrow\quad 9a+b=11.
Agora subtrair as duas equações obtidas para achar a:
(9a+b)-(6a+b)=3a=3 \quad\Rightarrow\quad a=1.
Com a=1, obtemos b por 6a+b=8:
6\cdot1+b=8 \quad\Rightarrow\quad b=2.
Voltar à equação 7a+3b+c=13 para achar c:
7\cdot1+3\cdot2+c=13 \quad\Rightarrow\quad 7+6+c=13 \quad\Rightarrow\quad c=0.
Finalmente usar a+b+c+d=23 para achar d:
1+2+0+d=23 \quad\Rightarrow\quad d=20.

Passo 6

Portanto o polinômio que gera a sequência é
p(n)=n^3+2n^2+20.
Verificação rápida com os termos dados:
\begin{aligned} p(1)&=1+2+20=23,\\\ p(2)&=8+8+20=36,\\\ p(3)&=27+18+20=65,\\\ p(4)&=64+32+20=116, \end{aligned}
ou seja, bate certinho.

Passo 7

Calcular o décimo termo usando a fórmula encontrada. Substituir n=10:
p(10)=10^3+2\cdot10^2+20 = 1000+200+20 = 1220.
Se preferir ver pelo método das diferenças (continuação das tabelas): a terceira diferença constante 6 permite continuar as segundas diferenças adicionando 6 a cada passo, depois somar para obter as primeiras diferenças e finalmente os termos; isso leva ao mesmo resultado 1220.

Resposta

1220

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