Determine o espectro de amplitude, fase e a potência e para a função representada pela seguinte expressão:
.
Passo 1
O enunciado dá a corrente
e pede três coisas: o espectro de amplitude, o espectro de fase e a potência média do sinal. Vou listar as informações que já temos (tiradas diretamente do enunciado):
- Componente DC (constante):
. - Termo
com coeficiente . - Termo
com coeficiente . - Termo
com coeficiente .
As perguntas a responder são:
- Quais as amplitudes (pico) dos componentes em cada frequência (espectro de amplitude)?
- Quais as fases associadas a esses componentes (espectro de fase)?
- Qual a potência média de cada componente e a potência total do sinal?
Passo 2
Vamos identificar as frequências (em hertz) de cada termo. Para um termo
a frequência em hertz é
.
- Para
temos , logo
- Para
temos , logo
- Para
temos , logo
- A componente constante
é a componente em (DC).
Resumo (peguei esses valores da expressão enviada):
-
: amplitude . -
: termo com coeficiente . -
: termo com coeficiente . -
: termo com coeficiente .
Passo 3
Para obter o espectro de amplitude e fase é útil escrever cada termo na forma
ou seja, amplitude positiva
e fase
.
Converter cada termo:
- A componente DC:
já está na forma com e . -
já é , então e . -
: podemos escrever . Portanto e (ou equivalente ). -
: lembrar que . Então
Assim
e
.
Explicando em linguagem de prova: para achar a fase, sempre transforme seno em cosseno (ou vice-versa) usando o deslocamento de fase
, e para sinais multiplicados por
trate como uma rotação de fase de
.
Passo 4
Espectro de amplitude (vou listar amplitude pico
associada a cada frequência; as amplitudes foram obtidas diretamente dos coeficientes ou pela conversão do seno em cosseno):
-
: . -
: . -
: . -
: .
Observação didática: em muitas apresentações de espectro para sinais reais, cada componente cosenoidal em
tem um “espelho” em
. Aqui listei o espectro em frequência positiva (física usual). Se for preciso o espectro bilateral em termos de coeficientes complexos, cada linha espectral complexa teria magnitude
em
e
com fases opostas; mas para um exercício de amplitude e fase de componentes, listar
e
é o que normalmente se pede na prova.
Passo 5
Espectro de fase (fases em radianos, obtidas na conversão do passo anterior; fases dadas módulo
quando necessário):
-
: . -
: . -
: (porque havia sinal negativo). -
: (porque era seno, isto é cos com fase ).
Dica prática para a prova: sempre normalize a amplitude para um número positivo e transfira qualquer sinal negativo para a fase adicionando
. Para senos, use
.
Passo 6
Agora a potência média de cada componente. Relembrando a fórmula:
- Potência média de uma componente DC
é
- Potência média de uma senoide (ou cossenoide)
é
Aplicando ao nosso sinal (cada passo abaixo é uma conta que dá para fazer à mão na prova):
- Potência da componente DC
:
- Potência do termo
com :
- Potência do termo
com :
- Potência do termo
com :
Como as componentes são ortogonais (sinais de frequências diferentes), a potência total é a soma das potências individuais:
Pequena explicação prática: usar
para sinusóides é a forma rápida; calcule quadrado da amplitude e divida por 2. Para DC, não divide por 2.
Passo 7
Resumo numérico final pronto para consulta rápida (valores apresentados com vírgula decimal, prontos para colocar numa folha de prova):
- Amplitudes:
, , , . - Fases:
, , , . - Potências individuais:
, , , . - Potência total:
.
Resposta
Espectro de amplitude (frequências em Hz):
;\
;\
;\
.
Espectro de fase (em rad):
;\
;\
;\
.
Potência média:
;\
;\
;\
;\ Potência total
.