Determine o espectro de amplitude, fase e a potência e para a função representada pela seguinte expressão:
i(t)=2+\cos (10 \pi t)-2 \cos (20 \pi t)+0,5 \operatorname{sen}(30 \pi t).

Passo 1

O enunciado dá a corrente
i(t)=2+\cos(10\pi t)-2\cos(20\pi t)+0,5\operatorname{sen}(30\pi t)
e pede três coisas: o espectro de amplitude, o espectro de fase e a potência média do sinal. Vou listar as informações que já temos (tiradas diretamente do enunciado):
  • Componente DC (constante): 2.
  • Termo \cos(10\pi t) com coeficiente 1.
  • Termo -2\cos(20\pi t) com coeficiente -2.
  • Termo 0,5\operatorname{sen}(30\pi t) com coeficiente 0,5.
As perguntas a responder são:
  1. Quais as amplitudes (pico) dos componentes em cada frequência (espectro de amplitude)?
  2. Quais as fases associadas a esses componentes (espectro de fase)?
  3. Qual a potência média de cada componente e a potência total do sinal?

Passo 2

Vamos identificar as frequências (em hertz) de cada termo. Para um termo \cos(\omega t) a frequência em hertz é f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
  • Para \cos(10\pi t) temos \omega=10\pi, logo
f=\frac{10\pi}{2\pi}=5\\ \text{Hz}.
  • Para -2\cos(20\pi t) temos \omega=20\pi, logo
f=\frac{20\pi}{2\pi}=10\\ \text{Hz}.
  • Para 0,5\operatorname{sen}(30\pi t) temos \omega=30\pi, logo
f=\frac{30\pi}{2\pi}=15\\ \text{Hz}.
  • A componente constante 2 é a componente em f=0 (DC).
Resumo (peguei esses valores da expressão enviada):
  • f=0: amplitude 2.
  • f=5\\ \text{Hz}: termo com coeficiente 1.
  • f=10\\ \text{Hz}: termo com coeficiente -2.
  • f=15\\ \text{Hz}: termo com coeficiente 0,5.

Passo 3

Para obter o espectro de amplitude e fase é útil escrever cada termo na forma
A\cos(2\pi f t + \varphi),
ou seja, amplitude positiva A e fase \varphi.
Converter cada termo:
  • A componente DC: 2 já está na forma A\cos(2\pi\cdot 0\cdot t + 0) com A=2 e \varphi=0.
  • \cos(10\pi t) já é \cos(2\pi\cdot 5 t), então A=1 e \varphi=0.
  • -2\cos(20\pi t): podemos escrever -2\cos(2\pi\cdot 10 t)=2\cos(2\pi\cdot 10 t + \pi). Portanto A=2 e \varphi=\pi (ou equivalente -\pi).
  • 0,5\operatorname{sen}(30\pi t): lembrar que \sin(x)=\cos(x-\tfrac{\pi}{2}). Então
0,5\sin(30\pi t)=0,5\cos\!\left(30\pi t-\tfrac{\pi}{2}\right)=0,5\cos\!\left(2\pi\cdot 15 t -\tfrac{\pi}{2}\right).
Assim A=0,5 e \varphi=-\tfrac{\pi}{2}.
Explicando em linguagem de prova: para achar a fase, sempre transforme seno em cosseno (ou vice-versa) usando o deslocamento de fase \pm \tfrac{\pi}{2}, e para sinais multiplicados por -1 trate como uma rotação de fase de \pi.

Passo 4

Espectro de amplitude (vou listar amplitude pico A associada a cada frequência; as amplitudes foram obtidas diretamente dos coeficientes ou pela conversão do seno em cosseno):
  • f=0: A=2.
  • f=5\\ \text{Hz}: A=1.
  • f=10\\ \text{Hz}: A=2.
  • f=15\\ \text{Hz}: A=0,5.
Observação didática: em muitas apresentações de espectro para sinais reais, cada componente cosenoidal em +f tem um “espelho” em -f. Aqui listei o espectro em frequência positiva (física usual). Se for preciso o espectro bilateral em termos de coeficientes complexos, cada linha espectral complexa teria magnitude A/2 em +f e -f com fases opostas; mas para um exercício de amplitude e fase de componentes, listar A e \varphi é o que normalmente se pede na prova.

Passo 5

Espectro de fase (fases em radianos, obtidas na conversão do passo anterior; fases dadas módulo 2\pi quando necessário):
  • f=0: \varphi=0.
  • f=5\\ \text{Hz}: \varphi=0.
  • f=10\\ \text{Hz}: \varphi=\pi (porque havia sinal negativo).
  • f=15\\ \text{Hz}: \varphi=-\tfrac{\pi}{2} (porque era seno, isto é cos com fase -\tfrac{\pi}{2}).
Dica prática para a prova: sempre normalize a amplitude para um número positivo e transfira qualquer sinal negativo para a fase adicionando \pi. Para senos, use \sin x=\cos(x-\tfrac{\pi}{2}).

Passo 6

Agora a potência média de cada componente. Relembrando a fórmula:
  • Potência média de uma componente DC D é
P_{\text{DC}}=D^{2}.
  • Potência média de uma senoide (ou cossenoide) A\cos(\cdot) é
P_{\text{sin}}=\frac{A^{2}}{2}.
Aplicando ao nosso sinal (cada passo abaixo é uma conta que dá para fazer à mão na prova):
  1. Potência da componente DC 2:
P_{0}=2^{2}=4.
  1. Potência do termo \cos(10\pi t) com A=1:
P_{5}=\frac{1^{2}}{2}=\frac{1}{2}=0,5.
  1. Potência do termo -2\cos(20\pi t) com A=2:
P_{10}=\frac{2^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2.
  1. Potência do termo 0,5\sin(30\pi t) com A=0,5:
P_{15}=\frac{(0,5)^{2}}{2}=\frac{0,25}{2}=0,125.
Como as componentes são ortogonais (sinais de frequências diferentes), a potência total é a soma das potências individuais:
P_{\text{total}}=P_{0}+P_{5}+P_{10}+P_{15}=4+0,5+2+0,125=6,625.
Pequena explicação prática: usar A^{2}/2 para sinusóides é a forma rápida; calcule quadrado da amplitude e divida por 2. Para DC, não divide por 2.

Passo 7

Resumo numérico final pronto para consulta rápida (valores apresentados com vírgula decimal, prontos para colocar numa folha de prova):
  • Amplitudes: A_{0}=2, A_{5}=1, A_{10}=2, A_{15}=0,5.
  • Fases: \phi_{0}=0, \phi_{5}=0, \phi_{10}=\pi, \phi_{15}=-\tfrac{\pi}{2}.
  • Potências individuais: P_{0}=4, P_{5}=0,5, P_{10}=2, P_{15}=0,125.
  • Potência total: P_{\text{total}}=6,625.

Resposta

Espectro de amplitude (frequências em Hz): f=0:\\ A=2;\ f=5:\\ A=1;\ f=10:\\ A=2;\ f=15:\\ A=0,5.
Espectro de fase (em rad): f=0:\\ \varphi=0;\ f=5:\\ \varphi=0;\ f=10:\\ \varphi=\pi;\ f=15:\\ \varphi=-\tfrac{\pi}{2}.
Potência média: P_{0}=4;\ P_{5}=0,5;\ P_{10}=2;\ P_{15}=0,125;\ Potência total P_{\text{total}}=6,625.

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