Na sequência de frações:
21, 32, 53, 85, 138, 2113, ldots
o numerador de cada fração é a soma do numerador e do denominador da fração anterior, e o denominador de cada fração é a soma dos denominadores das duas frações anteriores. Dado o valor de N(N >= 2), calcular a soma dos N primeiros termos da sequência.

Passo 1

O enunciado define uma sequência de frações an = pnqn em que
– o numerador satisfaz pn = pn-1 + qn-1
– o denominador satisfaz qn = qn-1 + qn-2
e pede a soma dos N primeiros termos. Vamos usar esses recorrentes e identificar a relação com Fibonacci.

Passo 2

Começamos fixando as condições iniciais: p1=2,;q1=1,;p2=3,;q2=2. A partir daí, para n>=3 usamos as relações dadas para gerar todos os pn e qn.

Passo 3

Observe que a recorrência de qn é exatamente a de Fibonacci deslocada: q1=1,;q2=2,;qn=qn-1+qn-2. Logo
qn = Fn+1,onde Fk é o k-ésimo termo da sequência de Fibonacci usual (com F1=1,,F2=1).

Passo 4

Como pn = pn-1+qn-1 e qn-1=Fn, também se mostra por indução que
$$p_n = F_{n+2}.
$$

Passo 5

Portanto o n-ésimo termo da nossa fração vale
$$a_n = \frac{p_n}{q_n} = \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}.
$$Assim a soma dos an = pnqn = Fn+2Fn+1 primeiros termos é
$$S(N) = \sum_{n=1}^{N} a_n = \sum_{n=1}^{N} \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}.
$$

Passo 6

Para calcular numericamente basta gerar os Fk até k=N+2 e fazer a soma acima.

Resposta

S(N)=sumn=1^NFn+2Fn+1 , onde Fk são os números de Fibonacci com F1=1,,F2=1.

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