Na sequência de frações:
o numerador de cada fração é a soma do numerador e do denominador da fração anterior, e o denominador de cada fração é a soma dos denominadores das duas frações anteriores. Dado o valor de
, calcular a soma dos N primeiros termos da sequência.
Passo 1
O enunciado define uma sequência de frações
em que
– o numerador satisfaz
– o denominador satisfaz
e pede a soma dos primeiros termos. Vamos usar esses recorrentes e identificar a relação com Fibonacci.
– o numerador satisfaz
– o denominador satisfaz
e pede a soma dos
Passo 2
Começamos fixando as condições iniciais:
. A partir daí, para
usamos as relações dadas para gerar todos os
e
.
Passo 3
Observe que a recorrência de
é exatamente a de Fibonacci deslocada:
. Logo
Passo 4
Como
e
, também se mostra por indução que
$$p_n = F_{n+2}.
$$
Passo 5
Portanto o
-ésimo termo da nossa fração vale
$$a_n = \frac{p_n}{q_n} = \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}.
$$Assim a soma dos
primeiros termos é
$$S(N) = \sum_{n=1}^{N} a_n = \sum_{n=1}^{N} \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}.
$$
Passo 6
Para calcular numericamente basta gerar os
até
e fazer a soma acima.