A sequência de Lucas foi criada pelo matemático francês Édouard Anatole Lucas (1842-1891), que fez diversas contribuições matemáticas, como o conhecido problema das Torres de Hanói, fornecendo métodos para o ensino de funções exponenciais, entre outros assuntos matemáticos. E. A. Lucas foi professor de matemática em algumas escolas e serviu na artilharia do exército após a França ser derrotada durante a Guerra Franco-Prussiana.
Motivado por questões de divisibilidade e fatoração, Lucas estudou a sequência de Fibonacci e, em uma de suas generalizações, criou a sequência de Lucas, na qual alterou apenas os dois valores iniciais para 2 e 1, mantendo a mesma recorrência de Fibonacci. Determine a sequência de Lucas. Em seguida encontre a forma fechada para esta sequência.
Passo 1
O enunciado pede para definir a sequência de Lucas, que é uma sequência recursiva de ordem 2 muito parecida com a de Fibonacci, mas com valores iniciais diferentes. O conteúdo envolve recorrência linear homogênea de segunda ordem e uso de equação característica para obter a forma fechada.
Passo 2
Definimos a sequência
por
e para
Calculando alguns termos iniciais temos
Passo 3
Para achar a forma fechada, montamos a equação característica associada à recorrência
As raízes dessa equação são
Passo 4
A solução geral de uma recorrência linear homogênea de segunda ordem é da forma
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Impondo
em
e usando
dá
e para
com
temos
Resolvendo esse sistema obtém-se
e
. Portanto
Resposta
A sequência de Lucas é
e a sua forma fechada é