A sequência de Lucas foi criada pelo matemático francês Édouard Anatole Lucas (1842-1891), que fez diversas contribuições matemáticas, como o conhecido problema das Torres de Hanói, fornecendo métodos para o ensino de funções exponenciais, entre outros assuntos matemáticos. E. A. Lucas foi professor de matemática em algumas escolas e serviu na artilharia do exército após a França ser derrotada durante a Guerra Franco-Prussiana.
Motivado por questões de divisibilidade e fatoração, Lucas estudou a sequência de Fibonacci e, em uma de suas generalizações, criou a sequência de Lucas, na qual alterou apenas os dois valores iniciais para 2 e 1, mantendo a mesma recorrência de Fibonacci. Determine a sequência de Lucas. Em seguida encontre a forma fechada para esta sequência.

Passo 1

O enunciado pede para definir a sequência de Lucas, que é uma sequência recursiva de ordem 2 muito parecida com a de Fibonacci, mas com valores iniciais diferentes. O conteúdo envolve recorrência linear homogênea de segunda ordem e uso de equação característica para obter a forma fechada.

Passo 2

Definimos a sequência (L_n) por
L_0 = 2,\quad L_1 = 1,
e para n\ge2
L_n = L_{n-1} + L_{n-2}.
Calculando alguns termos iniciais temos
L_2 = 1 + 2 = 3,\quad L_3 = 3 + 1 = 4,\quad L_4 = 4 + 3 = 7,\quad L_5 = 7 + 4 = 11,\;\dots

Passo 3

Para achar a forma fechada, montamos a equação característica associada à recorrência
r^2 - r - 1 = 0.
As raízes dessa equação são
\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2},\quad \psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}.

Passo 4

A solução geral de uma recorrência linear homogênea de segunda ordem é da forma
L_n = A\,\varphi^n + B\,\psi^n,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Impondo n=0 em L_n e usando L_0=2
A + B = 2,
e para n=1 com L_1=1 temos
A\,\varphi + B\,\psi = 1.
Resolvendo esse sistema obtém-se A=1 e B=1. Portanto
L_n = \varphi^n + \psi^n.

Resposta

A sequência de Lucas é
2,\;1,\;3,\;4,\;7,\;11,\;18,\;\dots
e a sua forma fechada é
L_n = \Bigl(\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr)^n + \Bigl(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigr)^n.

Exercícios relacionados