Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de a_{n} e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
a) Seja a sequência ( a_{n} ) tal que a_{0}=1 e n a_{n}=a_{n-1} para n \geq 1.
b) a_{0}=0 e (n+1) a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{n!} para n \geq 0.
c) a_{0}=a_{1}=1 e (n+2)(n+1) a_{n+2}+a_{n}=\frac{2}{n!} para n \geq 0.
d) a_{0}=0 e a_{1}=1 e (n+2)(n+1) a_{n+2}-a_{n}=\frac{2}{n!} para n \geq 0.
e) a_{0}=1, a_{1}=1 \mathrm{e}(n+2) a_{n+2}+2 a_{n}=0 para n \geq 0.
f) a_{0}=1 e a_{1}=0 e 2(n+2)(n+1) a_{n+2}+(n+1) a_{n}=0 para n \geq 0.
OBS: Os resultados obtidos serão utilizados na resolução de equações diferenciais. Em particular no Exercício (29) da Lista 3.

Passo 1

O enunciado apresenta seis sequências definidas por recorrências (algumas de segunda ordem) com condições iniciais. Em cada caso vamos:
  1. calcular a_0,\dots,a_6 via recorrência;
  2. observar o padrão para conjecturar uma expressão geral para a_n;
  3. provar o palpite por indução finita, verificando a base e mostrando que a fórmula satisfaz a recorrência.

Passo 2

Caso (a): a_0=1 e n\,a_n=a_{n-1} para n\ge1. Dos cálculos
a_1=\frac{a_0}{1}=1,\quad a_2=\frac{a_1}{2}=\tfrac12,\quad a_3=\frac{a_2}{3}=\tfrac1{6},\quad a_4=\tfrac1{24},\quad a_5=\tfrac1{120},\quad a_6=\tfrac1{720}
segue o palpite a_n=\frac1{n!}. A prova por indução mostra que funciona:
  • Base n=0: a_0=1=1/0!.
  • Passo indutivo: suponha a_{n-1}=1/(n-1)!. Então
a_n=\frac{a_{n-1}}{n} =\frac{1/(n-1)!}{n} =\frac1{n!}\,.

Passo 3

Caso (b): a_0=0 e (n+1)a_{n+1}=a_n+\tfrac1{n!} para n\ge0. Calculando
a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_3=\tfrac12,\quad a_4=\tfrac16,\quad a_5=\tfrac1{24},\quad a_6=\tfrac1{120}
vemos a_n=\tfrac1{(n-1)!} para n\ge1 (e a_0=0). Indução:
  • Base n=0: a_1=1=1/0!.
  • Se a_n=1/(n-1)!, então
a_{n+1} =\frac{a_n+\tfrac1{n!}}{n+1} =\frac{\tfrac1{(n-1)!}+\tfrac1{n!}}{n+1} =\frac{n+1}{n!\,(n+1)} =\frac1{n!}\,.

Passo 4

Caso (c): a_0=a_1=1 e (n+2)(n+1)a_{n+2}+a_n=\tfrac2{n!} para n\ge0. Os sete primeiros termos são
1,1,\tfrac12,\tfrac16,\tfrac1{24},\tfrac1{120},\tfrac1{720},
o que sugere a_n=1/n! para todo n. Indução:
  • Bases n=0,1 conferem.
  • Se a_n=1/n! então da recorrência
(n+2)(n+1)a_{n+2} =\frac2{n!}-a_n =\frac2-1}{n!} =\frac1{n!},
logo a_{n+2}=1/(n+2)!.

Passo 5

Caso (d): a_0=0,\;a_1=1 e (n+2)(n+1)a_{n+2}-a_n=\tfrac2{n!} para n\ge0. Os termos são
0,1,1,\tfrac12,\tfrac16,\tfrac1{24},\tfrac1{120},
indicando a_n=\tfrac n{n!}=1/(n-1)! para n\ge1 (e a_0=0). Indução:
  • Bases em n=0,1.
  • Se a_n=n/n!, então
(n+2)(n+1)a_{n+2} =a_n+\frac2{n!} =\frac n{n!}+\frac2{n!} =\frac{n+2}{n!},
logo a_{n+2}=(n+2)/(n+2)!=1/(n+1)!, compatível com a_{n+2}=(n+2)/(n+2)!.

Passo 6

Caso (e): a_0=a_1=1 e (n+2)a_{n+2}+2a_n=0. Calcula-se
1,1,-1,-\tfrac23,\tfrac12,\tfrac4{15},-\tfrac16,-\tfrac8{105}.
Isso divide em duas sub-sequências:
  • Se n=2k, então
a_{2k}=(-1)^k\frac1{k!}.
  • Se n=2k+1, então
a_{2k+1} =(-1)^k\frac{4^k\,k!}{(2k+1)!}.
Prova-se por indução dupla usando a_{n+2}=-\tfrac2{n+2}a_n.

Passo 7

Caso (f): a_0=1,\;a_1=0 e 2(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1)a_n=0, que dá
a_{n+2}=-\frac{a_n}{2(n+2)}.
Dos valores
1,0,-\tfrac14,0,\tfrac1{32},0,-\tfrac1{384},0
segue
a_{2k}=(-1)^k\frac1{4^k\,k!}, \quad a_{2k+1}=0.
Basta induzir em k.

Resposta

(a) a_n=\frac1{n!}.
(b) a_0=0, e a_n=\frac1{(n-1)!} para n\ge1.
(c) a_n=\frac1{n!}.
(d) a_0=0, e a_n=\frac n{n!}=\frac1{(n-1)!} para n\ge1.
(e) para n=2k, a_n=(-1)^k/(k!); para n=2k+1, a_n=(-1)^k4^k\,k!/(2k+1)!.
(f) a_{2k}=(-1)^k/(4^k\,k!) e a_{2k+1}=0.

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