Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de a_{n} e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
a) Seja a sequência ( a_{n} ) tal que a_{0}=1 e n a_{n}=a_{n-1} para n \geq 1.
b) a_{0}=0 e (n+1) a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{n!} para n \geq 0.
c) a_{0}=a_{1}=1 e (n+2)(n+1) a_{n+2}+a_{n}=\frac{2}{n!} para n \geq 0.
d) a_{0}=0 e a_{1}=1 e (n+2)(n+1) a_{n+2}-a_{n}=\frac{2}{n!} para n \geq 0.
e) a_{0}=1, a_{1}=1 \mathrm{e}(n+2) a_{n+2}+2 a_{n}=0 para n \geq 0.
f) a_{0}=1 e a_{1}=0 e 2(n+2)(n+1) a_{n+2}+(n+1) a_{n}=0 para n \geq 0.
OBS: Os resultados obtidos serão utilizados na resolução de equações diferenciais. Em particular no Exercício (29) da Lista 3.

Passo 1

O enunciado apresenta seis sequências definidas por recorrências lineares de 2º ordem (cada termo depende de termos anteriores) e pede, para cada caso, (i) calcular os sete primeiros termos \{a_{0},a_{1},\dots,a_{6}\}, (ii) conjecturar a forma fechada de a_{n} e (iii) provar por indução finita que essa fórmula satisfaz a recorrência dada. Vamos em cada item: primeiro gerar termos, depois adivinhar o padrão e, finalmente, confirmar por indução.

Passo 2

a) a_{0}=1, n\,a_{n}=a_{n-1} para n\ge1.
Cálculo dos primeiros termos:
\begin{aligned} n=1:&\;1\cdot a_{1}=a_{0}=1\;\Rightarrow\;a_{1}=1,\\\ n=2:&\;2\cdot a_{2}=a_{1}=1\;\Rightarrow\;a_{2}=\tfrac12,\\\ n=3:&\;3\cdot a_{3}=a_{2}=\tfrac12\;\Rightarrow\;a_{3}=\tfrac1{6},\\\ n=4:&\;4\cdot a_{4}=a_{3}=\tfrac1{6}\;\Rightarrow\;a_{4}=\tfrac1{24},\\\ n=5:&\;5\cdot a_{5}=a_{4}=\tfrac1{24}\;\Rightarrow\;a_{5}=\tfrac1{120},\\\ n=6:&\;6\cdot a_{6}=a_{5}=\tfrac1{120}\;\Rightarrow\;a_{6}=\tfrac1{720}. \end{aligned}
Observamos que a_{n}=\tfrac1{n!} para todo n\ge0.
Indução em n:
Base n=1: 1\cdot a_{1}=1\stackrel{?}{=}a_{0}\implies a_{1}=1=1/1!.
Passo indutivo: suponha a_{k}=1/k!. Então
k+1\;a_{k+1} = a_{k} = \frac1{k!} \;\Longrightarrow\; a_{k+1}=\frac1{(k+1)!},
como desejado.

Passo 3

b) a_{0}=0, (n+1)a_{n+1}=a_{n}+\frac1{n!}.
Cálculo inicial:
\begin{aligned} n=0:&\;1\cdot a_{1}=0+1\;\Rightarrow\;a_{1}=1,\\\ n=1:&\;2\cdot a_{2}=1+1\;\Rightarrow\;a_{2}=1,\\\ n=2:&\;3\cdot a_{3}=1+\tfrac12\;\Rightarrow\;a_{3}=\tfrac12,\\\ n=3:&\;4\cdot a_{4}=\tfrac12+\tfrac16\;\Rightarrow\;a_{4}=\tfrac1{6},\\\ n=4:&\;5\cdot a_{5}=\tfrac1{6}+\tfrac1{24}\;\Rightarrow\;a_{5}=\tfrac1{24},\\\ n=5:&\;6\cdot a_{6}=\tfrac1{24}+\tfrac1{120}\;\Rightarrow\;a_{6}=\tfrac1{120}. \end{aligned}
Vê-se a_{0}=0 e, para n\ge1, a_{n}=\tfrac1{(n-1)!}.
Indução em n\ge1: suponha a_{n}=1/(n-1)!. Então
(n+1)a_{n+1} = \frac1{(n-1)!} + \frac1{n!} = \frac{n+1}{n!} \;\Longrightarrow\; a_{n+1}=\frac1{(n)!},
isto é a_{n+1}=1/[(n+1)-1]!, fechando a indução.

Passo 4

c) a_{0}=a_{1}=1, (n+2)(n+1)a_{n+2}+a_{n}=\tfrac{2}{n!}.
Cálculo inicial:
\begin{aligned} n=0:&\;2\cdot1\;a_{2}+1=2\;\Rightarrow\;a_{2}=\tfrac12,\\\ n=1:&\;3\cdot2\;a_{3}+1=2\;\Rightarrow\;a_{3}=\tfrac1{6},\\\ n=2:&\;4\cdot3\;a_{4}+\tfrac12=1\;\Rightarrow\;a_{4}=\tfrac1{24},\\\ n=3:&\;5\cdot4\;a_{5}+\tfrac1{6}=\tfrac13\;\Rightarrow\;a_{5}=\tfrac1{120},\\\ n=4:&\;6\cdot5\;a_{6}+\tfrac1{24}=\tfrac1{12}\;\Rightarrow\;a_{6}=\tfrac1{720}. \end{aligned}
Conjectura natural: a_{n}=1/n! para todo n.
Indução em n: suponha a_{k}=1/k!. Então
(k+2)(k+1)a_{k+2} = \frac{2}{k!} - \frac1{k!} = \frac1{k!} \;\Longrightarrow\; a_{k+2}=\frac1{(k+2)!}.

Passo 5

d) a_{0}=0,\;a_{1}=1,\;(n+2)(n+1)a_{n+2}-a_{n}=\tfrac{2}{n!}.
Cálculo inicial:
\begin{aligned} n=0:&\;2\cdot1\;a_{2}-0=2\;\Rightarrow\;a_{2}=1,\\\ n=1:&\;3\cdot2\;a_{3}-1=2\;\Rightarrow\;a_{3}=\tfrac12,\\\ n=2:&\;4\cdot3\;a_{4}-1=1\;\Rightarrow\;a_{4}=\tfrac1{6},\\\ n=3:&\;5\cdot4\;a_{5}-\tfrac12=\tfrac13\;\Rightarrow\;a_{5}=\tfrac1{24},\\\ n=4:&\;6\cdot5\;a_{6}-\tfrac1{6}=\tfrac1{12}\;\Rightarrow\;a_{6}=\tfrac1{120}. \end{aligned}
Observação: de novo surge a_{0}=0 e a_{n}=1/(n-1)! para n\ge1.
Indução idêntica à do item b).

Passo 6

e) a_{0}=1,\;a_{1}=1,\;(n+2)a_{n+2}+2a_{n}=0.
Reescrevendo a_{n+2}=-\tfrac{2}{n+2}a_{n}, vemos que termos de índices pares e ímpares se separam:
  • Índices pares: n=2k.
    a_{2k} = \prod_{j=1}^{k}\bigl(-\tfrac2{2j}\bigr)\,a_{0} =(-1)^{k}\,\frac{1}{k!}. - Índices ímpares: n=2k+1.
    a_{2k+1}=\prod_{j=1}^{k}\bigl(-\tfrac2{2j+1}\bigr)\,a_{1} =(-2)^{\,k}/(2k+1)!! onde (2k+1)!!=(2k+1)(2k-1)\cdots3\cdot1.
    Indução: basta verificar o passo de 2j\to2j+2 e 2j+1\to2j+3 usando a fórmula geral e a recorrência.

Passo 7

f) a_{0}=1,\;a_{1}=0,\;2(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1)a_{n}=0.
Simplifica-se para
a_{n+2}=-\frac{1}{2(n+2)}\,a_{n}.
Novamente separam-se pares e ímpares:
  • a_{2k+1}=0 pois a_{1}=0 e a recorrência não gera ímpares não nulos.
  • a_{2k}=\prod_{j=1}^{k}\bigl(-\tfrac1{2\,(2j)}\bigr)\,a_{0} =(-1)^{k}\,\frac{1}{4^{k}\,k!}. Indução sobre k confirma a fórmula.

Resposta

a) a_{n}=\displaystyle\frac1{n!}.
b) a_{0}=0,\;a_{n}=\displaystyle\frac1{(n-1)!} para n\ge1.
c) a_{n}=\displaystyle\frac1{n!}.
d) a_{0}=0,\;a_{n}=\displaystyle\frac1{(n-1)!} para n\ge1.
e) \displaystyle a_{2k}=(-1)^{k}\frac1{k!},\quad a_{2k+1}=\frac{(-2)^{k}}{(2k+1)!!}.
f) \displaystyle a_{2k+1}=0,\quad a_{2k}=(-1)^{k}\frac1{4^{k}\,k!}.

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