Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de
e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
a) Seja a sequência (
) tal que
e
para
.
b)
e
para
.
c)
e
para
.
d)
e
e
para
.
e)
para
.
f)
e
e
para
.
OBS: Os resultados obtidos serão utilizados na resolução de equações diferenciais. Em particular no Exercício (29) da Lista 3.
a) Seja a sequência (
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado apresenta seis sequências definidas por recorrências lineares de 2º ordem (cada termo depende de termos anteriores) e pede, para cada caso, (i) calcular os sete primeiros termos
, (ii) conjecturar a forma fechada de
e (iii) provar por indução finita que essa fórmula satisfaz a recorrência dada. Vamos em cada item: primeiro gerar termos, depois adivinhar o padrão e, finalmente, confirmar por indução.
Passo 2
a)
,
para
.
Cálculo dos primeiros termos:
Cálculo dos primeiros termos:
Observamos que
para todo
.
Indução em :
Base :
.
Passo indutivo: suponha . Então
Indução em
Base
Passo indutivo: suponha
como desejado.
Passo 3
b)
,
.
Cálculo inicial:
Cálculo inicial:
Vê-se
e, para
,
.
Indução em : suponha
. Então
Indução em
isto é
, fechando a indução.
Passo 4
c)
,
.
Cálculo inicial:
Cálculo inicial:
Conjectura natural:
para todo
.
Indução em : suponha
. Então
Indução em
Passo 5
d)
.
Cálculo inicial:
Cálculo inicial:
Observação: de novo surge
e
para
.
Indução idêntica à do item b).
Indução idêntica à do item b).
Passo 6
e)
.
Reescrevendo , vemos que termos de índices pares e ímpares se separam:
Reescrevendo
- Índices pares:
.
- Índices ímpares: .
onde .
Indução: basta verificar o passo dee usando a fórmula geral e a recorrência.
Passo 7
f)
.
Simplifica-se para
Simplifica-se para
Novamente separam-se pares e ímpares:
-
pois e a recorrência não gera ímpares não nulos. -
Indução sobre confirma a fórmula.
Resposta
a)
b) para
.
c)
d) para
.
e)
f)
b)
c)
d)
e)
f)