Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de a_{n} e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
a_{0}=1 e a_{1}=0 e 2(n+2)(n+1) a_{n+2}+(n+1) a_{n}=0 para $n \geq 0.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) com condições iniciais \;a_{0}=1,\;a_{1}=0; e recorrência
2(n+2)(n+1)\,a_{n+2} + (n+1)\,a_{n} = 0,\quad n\ge0.
O objetivo é calcular os sete primeiros termos, conjecturar uma fórmula geral para a_{n} e comprová-la por indução.

Passo 2

Da recorrência isolamos
a_{n+2} = -\frac{(n+1)\,a_{n}}{2(n+2)(n+1)} = -\frac{a_{n}}{2(n+2)}.
Usando a_{0}=1 e a_{1}=0: n=0\implies a_{2}=-\tfrac{a_{0}}{2\cdot2}=-\tfrac{1}{4}. n=1\implies a_{3}=-\tfrac{a_{1}}{2\cdot3}=0. n=2\implies a_{4}=-\tfrac{a_{2}}{2\cdot4}=+\tfrac{1}{32}. n=3\implies a_{5}=0. n=4\implies a_{6}=-\tfrac{a_{4}}{2\cdot6}=-\tfrac{1}{384}.
Logo, os sete primeiros termos n=0,\dots,6 são
1,\;0,\;-\tfrac14,\;0,\;\tfrac1{32},\;0,\;-\tfrac1{384}.

Passo 3

Observa-se que todos os termos de índice ímpar são zero e os de índice par obedecem à relação
b_{k}=a_{2k},\quad b_{0}=1,\quad b_{k}=-\frac{b_{k-1}}{4k}.
Isso leva a
b_{k} = (-1)^{k}\,\frac{1}{4^{k}\,k!},
ou seja
a_{n} = \begin{cases} \dfrac{(-1)^{k}}{4^{k}\,k!},& n=2k,\\\\ 0,& n\text{ ímpar}. \end{cases}í

Passo 4

Agora confirmamos por indução em k que a fórmula vale para b_{k}=a_{2k}.
Base k=0: b_{0}=a_{0}=1 =(-1)^{0}/(4^{0}0!).
Hipótese: suponha b_{k}=(-1)^{k}/(4^{k}k!).
Passo indutivo:
b_{k+1}=a_{2(k+1)} =-\frac{a_{2k}}{2\,(2k+2)} =-\frac{b_{k}}{4(k+1)} =-\frac{(-1)^{k}}{4^{k}k!}\,\frac{1}{4(k+1)} =\frac{(-1)^{k+1}}{4^{k+1}(k+1)!}.
Assim, a fórmula vale para todo k. Os termos ímpares ficam a_{2k+1}=0 seguindo a recorrência com a_{1}=0.

Resposta

Os sete primeiros termos são
1,\;0,\;-\tfrac14,\;0,\;\tfrac1{32},\;0,\;-\tfrac1{384}.
A fórmula geral é
a_{n} = \begin{cases} \dfrac{(-1)^{k}}{4^{k}\,k!},& n=2k,\\\\ 0,& n\text{ ímpar}. \end{cases}í

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