Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de a_{n} e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
a_{0}=1, a_{1}=1 e (n+2) a_{n+2}+2 a_{n}=0 para n \geq 0.

Passo 1

O enunciado define a sequência por \displaystyle a_{0}=1,\quad a_{1}=1
e, para n\ge0,
(n+2)\,a_{n+2}+2\,a_{n}=0,
isto é
a_{n+2} = -\frac{2}{n+2}\,a_{n}.
Vamos calcular os primeiros sete termos, conjecturar uma fórmula geral e, por fim, provar por indução.

Passo 2

Calculemos \!a_{2},a_{3},\dots,a_{6} usando \displaystyle a_{n+2} = -\frac{2}{n+2}a_{n}:
a_{2}=-\frac{2}{2}a_{0}=-1,
a_{3}=-\frac{2}{3}a_{1}=-\frac{2}{3},
a_{4}=-\frac{2}{4}a_{2}=-\frac{2}{4}\bigl(-1\bigr)=\frac12,
a_{5}=-\frac{2}{5}a_{3}=-\frac{2}{5}\Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr)=\frac{4}{15},
a_{6}=-\frac{2}{6}a_{4}=-\frac{2}{6}\cdot\frac12=-\frac{1}{6}.
Portanto os sete primeiros termos são
1,\;1,\;-1,\;-\tfrac{2}{3},\;\tfrac12,\;\tfrac{4}{15},\;-\,\tfrac{1}{6}.

Passo 3

Observando separadamente termos de índice par n=2k e ímpar n=2k+1, vê-se:
  • Para n=2k:
a_{2k} =a_{0}\prod_{j=1}^{k}\Bigl(-\tfrac{2}{2j}\Bigr) =(-1)^{k}\,\frac{1}{k!}.
  • Para n=2k+1:
a_{2k+1} =a_{1}\prod_{j=1}^{k}\Bigl(-\tfrac{2}{2j+1}\Bigr) =(-4)^{k}\,\frac{k!}{(2k+1)!}.

Passo 4

Palpite (fórmula geral):
\boxed{ a_{n} = \begin{cases} (-1)^{k}\,\dfrac{1}{k!}, & n=2k,\\[1em] (-4)^{k}\,\dfrac{k!}{(2k+1)!}, & n=2k+1. \end{cases} }]

Passo 5

Prova por indução em n:
Base:
Para n=0 temos a_{0}=1 e a fórmula dá (-1)^{0}/0!=1.
Para n=1 temos a_{1}=1 e a fórmula dá (-4)^{0}0!/(1)!=1.
Passo indutivo: suponha válida a fórmula para índices n e n+1.
Então, pelo passo de recorrência,
a_{n+2} =-\frac{2}{n+2}\,a_{n}.
Se n=2k, então n+2=2(k+1) e
a_{2(k+1)} =-\frac{2}{2(k+1)}\;(-1)^{k}\frac{1}{k!} =(-1)^{k+1}\frac{1}{(k+1)!},
concordando com o caso par para k\mapsto k+1.
Se n=2k+1, então n+2=2k+3 e
a_{2k+3} =-\frac{2}{2k+3}\;(-4)^{k}\frac{k!}{(2k+1)!} =\frac{(-4)^{k+1}(k+1)!}{(2k+3)!},
que é exatamente o caso ímpar para k\mapsto k+1.
Logo a fórmula está comprovada para todo n\ge0.

Resposta

Os sete primeiros termos são
1,\;1,\;-1,\;-\tfrac{2}{3},\;\tfrac12,\;\tfrac{4}{15},\;-\,\tfrac{1}{6},
e a fórmula geral é
a_{n} = \begin{cases} (-1)^{k}\,\dfrac{1}{k!}, & n=2k,\\[6pt] (-4)^{k}\,\dfrac{k!}{(2k+1)!}, & n=2k+1. \end{cases}]

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