1. Qual seria a função trabalho mínima que um metal deveria ter para que a luz visível ( 380-750 \mathrm{~nm} ) emitisse fotoelétrons? [Entre
    2,65 \times 10^{-19} J e 5,23 \times 10^{-19} J ou entre 1,65 eV e 3,26 \mathrm{eV} ]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pergunta: determinar a função trabalho mínima que um metal deve ter para que a luz visível (comprimentos de onda entre 380\\ \mathrm{nm} e 750\\ \mathrm{nm}) consiga arrancar fotoelétrons.
  • Dados relevantes:
    • Intervalo de comprimentos de onda da luz visível: \lambda_{\min}=380\\ \mathrm{nm} e \lambda_{\max}=750\\ \mathrm{nm}.
  • Observação importante (para não nos perder): um fóton só consegue ejetar um elétron se a sua energia é maior ou igual à função trabalho \varphi do metal. Vamos usar isso para relacionar \varphi com \lambda.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática):
  • Cada fóton tem energia dada por Planck:
E = h\nu
onde h é a constante de Planck e \nu é a frequência da luz.
  • Relação entre frequência e comprimento de onda:
\nu = \frac{c}{\lambda}
onde c é a velocidade da luz no vácuo e \lambda o comprimento de onda.
  • Combinando as duas:
E(\lambda) = \frac{hc}{\lambda}.
Aqui:
  • E(\lambda) é a energia de um fóton de comprimento de onda \lambda,
  • h\approx6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
  • c\approx3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • A função trabalho \varphi é a energia mínima necessária para ejetar um elétron do metal. A condição de emissão fotoelétrica é:
E(\lambda)\ge \varphi.
  • Para converter joules em elétron-volts uso:
1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Calcular a energia dos fótons nas extremidades do intervalo visível (faço as contas passo a passo):
Para \lambda_{\max}=750\\ \mathrm{nm}=750\times10^{-9}\\ \mathrm{m}:
E(750\\ \mathrm{nm})=\frac{hc}{\lambda_{\max}} =\frac{(6{,}626\times10^{-34})(3{,}00\times10^{8})}{750\times10^{-9}} =2{,}65\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Para \lambda_{\min}=380\\ \mathrm{nm}=380\times10^{-9}\\ \mathrm{m}:
E(380\\ \mathrm{nm})=\frac{hc}{\lambda_{\min}} =\frac{(6{,}626\times10^{-34})(3{,}00\times10^{8})}{380\times10^{-9}} =5{,}23\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Passar esses valores para elétron-volts (mais prático em fotoeletricidade):
Para 750\\ \mathrm{nm}:
E(750\\ \mathrm{nm})=\frac{2{,}65\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx1{,}65\\ \mathrm{eV}.
Para 380\\ \mathrm{nm}:
E(380\\ \mathrm{nm})=\frac{5{,}23\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx3{,}26\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Interpretação e conclusão (resolvendo a ambiguidade do enunciado de modo didático):
  • Se a condição exigida for que qualquer fóton da faixa visível (ou seja, até o maior comprimento de onda visível, 750\\ \mathrm{nm}) consiga ejetar elétrons, então a função trabalho do metal deve ser, no máximo, igual à energia do fóton de 750\\ \mathrm{nm}. Nesse caso a maior função trabalho permitida é
\phi_{\max}=E(750\\ \mathrm{nm})=2{,}65\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=1{,}65\\ \mathrm{eV}.
Isto garante que até os fótons de menor energia da luz visível ainda causem emissão.
  • Se a exigência fosse apenas que alguns fótons visíveis (os mais energéticos, de \lambda=380\\ \mathrm{nm}) consigam ejetar elétrons, então a função trabalho poderia chegar até
\phi_{\max}=E(380\\ \mathrm{nm})=5{,}23\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=3{,}26\\ \mathrm{eV}.
Como a pergunta pede a “função trabalho mínima que um metal deveria ter para que a luz visível … emitisse fotoelétrons”, a interpretação usual (garantir emissão por toda a faixa visível) leva ao primeiro valor.

Resposta

2{,}65\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=1{,}65\\ \mathrm{eV}

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