Quais das séries abaixo convervem ou divergem ? Justifique sua resposta ! Lembre-se que pode existir mais de uma forma para determinar a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{3 n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série numérica de termos
a_n = \Bigl(1 - \frac{1}{3n}\Bigr)^n
e pede para determinar se \sum_{n=1}^{\infty}a_n
converge ou diverge. Vamos usar o teste da divergência, que diz: se \lim_{n\to\infty}a_n \neq 0,
então a série diverge. Também podemos recorrer à famosa aproximação \bigl(1 + \tfrac{x}{n}\bigr)^n \to e^x.

Passo 2

Calculamos o limite do termo geral. Escrevendo
a_n = \Bigl(1 - \frac{1}{3n}\Bigr)^n = \exp\!\Bigl(n\ln\bigl(1 - \tfrac{1}{3n}\bigr)\Bigr),
e usando a expansão \ln(1+y)=y+o(y) para y\to0, com y=-\tfrac{1}{3n}, obtemos
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\exp\!\Bigl(n\bigl(-\tfrac{1}{3n}+o(\tfrac1n)\bigr)\Bigr) =\exp\bigl(-\tfrac13\bigr) =e^{-1/3}.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_n = e^{-1/3}\neq 0,
pelo teste da divergência a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n
não pode convergir.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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