Utilize o Teste da Razão para determinar se cada série converge ou diverge.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{3^{n+2}}{\ln (n)}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{3^{n+2}}{\ln(n)}
usando o Teste da Razão. Vamos relembrar que, para a sequência de termos a_n, definimos
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Identificamos
a_n = \frac{3^{n+2}}{\ln(n)}
e portanto
a_{n+1} = \frac{3^{(n+1)+2}}{\ln(n+1)} = \frac{3^{n+3}}{\ln(n+1)}.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{3^{n+3}}{\ln(n+1)}}{\frac{3^{n+2}}{\ln(n)}} = 3 \cdot \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)}.

Passo 4

Tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty} 3 \,\frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} = 3 \times 1 = 3.
Aqui usamos que \ln(n+1)/\ln(n)\to1.

Passo 5

Como L = 3 > 1, o Teste da Razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão.

Exercícios relacionados