Quais séries convergem? E quais divergem?
Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(n!)^{n}}{\left(n^{n}\right)^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^{n}}{\bigl(n^{n}\bigr)^{2}}
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o teste da raiz n-ésima, que nos ajuda a estudar séries cujo termo geral envolve potências em n.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da raiz: seja
a_n = \frac{(n!)^{n}}{n^{2n}}.
O teste da raiz diz que, se
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|},
então a série converge se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.

Passo 3

Calculemos a raiz n-ésima de a_n:
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\frac{(n!)^{n}}{n^{2n}}} = \frac{n!}{n^2}.

Passo 4

Precisamos agora do comportamento de \frac{n!}{n^2} quando n\to\infty. Pelo lema de Stirling,
n! \sim \sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^{n}.
Logo,
\frac{n!}{n^2} \sim \frac{\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^{n}}{n^2} = \sqrt{2\pi n}\,\frac{n^n}{e^n\,n^2} = \sqrt{2\pi n}\,\frac{n^{\,n-2}}{e^n}.
Como n^{\,n-2} cresce muito mais rápido que e^n, essa expressão tende a +\infty. Portanto,
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = \infty.

Passo 5

Como L = \infty > 1, o teste da raiz nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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