Quais séries convergem? E quais divergem?
Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir:
Calcule a convergência ou divergência das séries a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o teste da raiz
-ésima, que nos ajuda a estudar séries cujo termo geral envolve potências em
.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da raiz: seja
O teste da raiz diz que, se
então a série converge se
, diverge se
e o teste é inconclusivo se
.
Passo 3
Calculemos a raiz
-ésima de
:
Passo 4
Precisamos agora do comportamento de
quando
. Pelo lema de Stirling,
Logo,
Como
cresce muito mais rápido que
, essa expressão tende a
. Portanto,
Passo 5
Como
, o teste da raiz nos diz que a série diverge.
Resposta
A série diverge.