Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série
determinando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular sua soma. O conteúdo necessário é reconhecer séries geométricas e aplicar o teste da razão.
Passo 2
Escrevendo o termo geral como potência, temos
logo trata–se de uma série geométrica de razão
Passo 3
Para uma série geométrica
com
, ela converge se, e somente se,
. Vamos verificar o valor de
fazendo o logaritmo:
Como
e
, segue
e portanto
.
Passo 4
Como a razão
, o termo geral
não tende a zero e a série diverge pelo teste da razão (ou simplesmente pelo critério das séries geométricas, que exigem
para convergir).
Resposta
A série diverge.