Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{n \pi}}{\pi^{n e}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{n\pi}}{\pi^{n e}},
determinando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular sua soma. O conteúdo necessário é reconhecer séries geométricas e aplicar o teste da razão.

Passo 2

Escrevendo o termo geral como potência, temos
a_n = \frac{e^{n\pi}}{\pi^{n e}} = \biggl(\frac{e^\pi}{\pi^e}\biggr)^{n}\,,
logo trata–se de uma série geométrica de razão
r = \frac{e^\pi}{\pi^e}.

Passo 3

Para uma série geométrica \sum a_n com a_n=r^n, ela converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Vamos verificar o valor de r fazendo o logaritmo:
\ln r = \ln\biggl(\frac{e^\pi}{\pi^e}\biggr) = \pi - e\ln\pi.
Como \pi\approx3,1416 e e\ln\pi\approx2{,}7183\times1{,}1447\approx3{,}113, segue \ln r>0 e portanto r>1.

Passo 4

Como a razão r>1, o termo geral a_n=r^n não tende a zero e a série diverge pelo teste da razão (ou simplesmente pelo critério das séries geométricas, que exigem \lvert r\rvert<1 para convergir).

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados