Se \sum a_{n} converge e a_{n}>0 para todo n, pode-se dizer algo sobre \Sigma\left(1 / a_{n}\right) ? Justifique sua resposta.
87. O que acontece se você adicionar um número finito de termos a uma série divergente ou retirar um número finito de termos de uma série divergente? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado traz duas perguntas sobre séries numéricas. A primeira pergunta: dada uma série de termos positivos \sum a_n que converge, o que ocorre com a série \sum \tfrac1{a_n}? Aqui vamos usar o teste do termo geral. A segunda pergunta: se temos uma série divergente e adicionamos ou subtraímos um número finito de termos, isso muda a natureza da divergência? Para responder, vamos analisar o efeito de alterar apenas um trecho inicial da série.

Passo 2

Como \sum a_n converge e a_n>0 para todo n, vale
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n} = \frac{1}{0^+} = +\infty.
Isso mostra que o termo geral \tfrac1{a_n} não tende a zero. Pelo teste do termo geral, se o termo geral de uma série não tende a zero, a série diverge. Portanto \sum \tfrac1{a_n} diverge.

Passo 3

Seja \sum b_n uma série divergente. Suponha que formemos outra série alterando apenas os primeiros N termos de \sum b_n (isto é, somando ou retirando um número finito de parcelas). As somas parciais da nova série diferem das somas parciais originais por, no máximo, uma constante finita (a soma ou subtração dos N primeiros termos). Como uma sequência que diverge continua divergindo mesmo que se some ou subtraia uma constante, a nova série também diverge.

Resposta

(a) A série \displaystyle\sum \frac1{a_n} diverge, pois \lim_{n\to\infty}\tfrac1{a_n}\neq0.
(b) Adicionar ou retirar um número finito de termos de uma série divergente não altera sua divergência; ela continua divergente.

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