Um serviço SaaS acompanha a retenção de clientes ao longo dos meses. Sabe-se que, a cada mês, 90 \% dos clientes ativos no mês anterior continuam usando o serviço. Os dados observados foram:
x_{1}=1000, \quad x_{2}=900, \quad x_{3}=810, \quad x_{4}=729, \quad x_{5}=656,1
(a) Modele essa retenção utilizando uma sequência recorrente.
(b) Escreva a fórmula geral x_{n}.
(c) Calcule o número de clientes ativos no 12^{\underline{\mathrm{O}}} mês.
Uma empresa investe \mathrm{R} \ 500$ por dia em anúncios online. O custo total acumulado nos primeiros dias foi:
x_{1}=500, \quad x_{2}=1000, \quad x_{3}=1500, \quad x_{4}=2000, \quad x_{5}=2500
(a) Modele o custo acumulado como uma sequência recorrente.
(b) Determine a fórmula fechada x_{n}.
(c) Calcule o custo total acumulado após 30 dias de campanha.
(d) Sugira uma forma de adaptar o modelo para campanhas com orçamento variável.

Passo 1

O enunciado traz duas situações que envolvem sequências numéricas:
  1. Retenção de clientes em que a cada mês permanecem 90\% dos clientes ativos.
  2. Custo acumulado de anúncios em que se gasta \mathrm{R}\$500 por dia de campanha.
    Para cada caso vamos (a) escrever a recorrência, (b) obter a fórmula fechada, (c) calcular um valor pedido e (no segundo caso) (d) sugerir adaptação para orçamento variável.

Passo 2

No problema de retenção, a cada mês n permanecem 90\% dos clientes do mês n-1. Isso define uma sequência geométrica por recorrência
x_{n} = 0,9\,x_{n-1},
com condição inicial x_{1}=1000.

Passo 3

Em toda sequência geométrica com razão r e termo inicial x_{1}, o termo geral vale
x_{n} = x_{1}\,r^{\,n-1}.
Aqui r=0,9 e x_{1}=1000, logo
x_{n} = 1000\,(0,9)^{\,n-1}.

Passo 4

Para o 12^{\underline{\mathrm{o}}} mês temos
x_{12} = 1000\,(0,9)^{11} \approx 1000 \times 0,3138106 \approx 313{,}8.
Arredondando, cerca de 314 clientes ainda estarão ativos.

Passo 5

No problema do custo acumulado, gasta-se \mathrm{R}\$500 todo dia e o total do dia n é o total do dia anterior mais \mathrm{R}\$500. Isso define uma sequência aritmética por recorrência
x_{n} = x_{n-1} + 500,
com x_{1}=500.

Passo 6

Em toda sequência aritmética com diferença d e termo inicial x_{1}, o termo geral vale
x_{n} = x_{1} + (n-1)\,d.
Aqui d=500 e x_{1}=500, logo
x_{n} = 500 + (n-1)\,500 = 500\,n.

Passo 7

Para 30 dias de campanha, o custo acumulado é
x_{30} = 500 \times 30 = 15000.
Ou seja, \mathrm{R}\$15\,000.

Passo 8

Se o orçamento diário variar, basta trocar a diferença constante 500 por um valor que dependa de n. Por exemplo, chamando de b_{n} o gasto do dia n, define-se
x_{n} = x_{n-1} + b_{n},\quad x_{1}=b_{1},
e então
x_{n} = \sum_{k=1}^{n} b_{k}.

Resposta

Para retenção de clientes:
(a) \displaystyle x_{n}=0,9\,x_{n-1}.
(b) \displaystyle x_{n}=1000\,(0,9)^{\,n-1}.
(c) \displaystyle x_{12}=1000\,(0,9)^{11}\approx314.
Para custo de anúncios:
(a) \displaystyle x_{n}=x_{n-1}+500, com x_{1}=500.
(b) \displaystyle x_{n}=500\,n.
(c) \displaystyle x_{30}=15000.
(d) Modelo adaptado:
x_{n}=x_{n-1}+b_{n},\quad x_{n}=\sum_{k=1}^{n}b_{k},
onde b_{n} é o orçamento do dia n.

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