Uma empresa acompanha a receita gerada por um cliente recorrente. O cliente realiza uma compra inicial de \mathrm{R} \ 100 e retorna a cada mês aumentando o valor gasto emê10 %$ em relação ao mês anterior.
Os dados dos cinco primeiros meses foram:
x_{1}=100, \quad x_{2}=110, \quad x_{3}=121, \quad x_{4}=133,1, \quad x_{5}=146,41
(a) Modele a evolução da receita mensal como uma sequência recorrente.
(b) Obtenha a fórmula geral x_{n}.
(c) Calcule a receita total acumulada após 12 meses.

Passo 1

O enunciado nos diz que um cliente gasta inicialmente \mathrm{R}\,\$100 em x_{1} e a cada mês ele aumenta o gasto em 10\% em relação ao mês anterior. O conteúdo aqui é sequência recorrente (ou progressão geométrica) e soma de termos de progressão geométrica. Vamos:
  1. Modelar a relação entre termos (recorrência).
  2. Encontrar a fórmula geral de x_{n}.
  3. Calcular a soma dos 12 primeiros termos.

Passo 2

Como a cada mês o valor cresce 10\%, isto é, é multiplicado por 1{,}10, resulta a recorrência
x_{n+1} = 1{,}10\,x_{n},
com valor inicial
x_{1} = 100.

Passo 3

Uma progressão geométrica definida por x_{1}=a e x_{n+1}=r\,x_{n} tem fórmula geral
x_{n} = a\,r^{\,n-1}.
Aqui a=100 e r=1{,}10, então
x_{n} = 100\,(1{,}10)^{\,n-1}.

Passo 4

A receita total acumulada em 12 meses é
S_{12} = \sum_{k=1}^{12} x_{k} = \sum_{k=1}^{12} 100\,(1{,}10)^{\,k-1}.
Para a soma dos 12 termos de uma progressão geométrica usamos a fórmula
S_{12} = a \,\frac{r^{12}-1}{r-1} = 100 \,\frac{(1{,}10)^{12}-1}{1{,}10-1}.
Como 1{,}10-1=0{,}10, temos
S_{12} = 100\;\frac{(1{,}10)^{12}-1}{0{,}10} = 1000\bigl((1{,}10)^{12}-1\bigr).
Calculando numericamente (1{,}10)^{12}\approx3{,}138428, obtemos
S_{12}\approx1000\,(3{,}138428-1)=1000\cdot2{,}138428\approx2138{,}43.

Resposta

(a) \displaystyle x_{n+1}=1{,}10\,x_{n},\;x_{1}=100.
(b) \displaystyle x_{n}=100\,(1{,}10)^{\,n-1}.
(c) \displaystyle S_{12}=1000\bigl((1{,}10)^{12}-1\bigr)\approx\mathrm{R}\,\$2138{,}43.

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