Show that Laplace
u_rr + (1/r) u_r + (1/r^2) u_theta_theta = 0
Hint: Use x = r cos(theta) and y = r * sen(θ) and the chain rule.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Queremos mostrar que a equação de Laplace em coordenadas polares é dada por:
Para isso, vamos usar as relações entre coordenadas cartesianas (x, y) e polares (r, θ), onde:
Precisaremos aplicar a regra da cadeia para relacionar as derivadas parciais em coordenadas cartesianas com as derivadas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de u em relação a x e y usando a regra da cadeia. Temos:
Agora, vamos encontrar , , e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de r e theta:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão de e :

Passo 5

Agora, vamos calcular as segundas derivadas e .
Primeiro, derivando em relação a x:
Usando a regra do produto e lembrando que e também dependem de x e y, teremos termos com derivadas de e .
De maneira similar, derivamos em relação a y para obter .

Passo 6

Após calcular e , somamos as duas expressões:
Simplificando os termos e utilizando as rela��ões trigonométricas, chegamos à expressão da equação de Laplace em coordenadas polares:

Resposta

Assim, mostramos que a equação de Laplace em coordenadas polares é:

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