Consider the problem of finding a solution
of Laplace
This is an example of a Neumann problem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema envolvendo a Equação de Laplace e condições de contorno do tipo Neumann. A Equação de Laplace é uma equação diferencial parcial que aparece em várias áreas da física, como eletrostática e fluxo de calor. As condições de contorno de Neumann especificam as derivadas das funções nas fronteiras do domínio. Para resolver esse problema, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e aplicar as condições de contorno adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis e a região onde queremos encontrar a solução. Temos
definida em um retângulo onde
e
. As condições de contorno dadas são:
-
e para . -
e para .
Aqui,
e
representam as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos procurar uma solução na forma de produto de funções separadas:
. Isso significa que a função
pode ser escrita como o produto de uma função somente de
e outra somente de
. Esse método é útil para resolver equações diferenciais parciais quando as variáveis podem ser separadas.
Passo 4
Substituindo
na Equação de Laplace, que é
, temos:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Como as duas partes são funções de variáveis diferentes, cada uma deve ser igual a uma constante negativa, digamos
. Então, temos:
Passo 5
Agora, resolvemos as equações diferenciais resultantes:
Para
:
A solução geral é:
Para
:
A solução geral é:
Passo 6
Aplicamos agora as condições de contorno para determinar as constantes.
Primeiro, para
e
:
Derivando
em relação a
:
Isso requer que
e
. Aplicando isso na solução de
:
Impondo
:
Impondo
:
Como
, temos:
Para soluções não triviais,
, então
, o que só ocorre se
.
Portanto,
e as soluções se reduzem a constantes, ou seja:
Então, a solução geral é:
Agora, aplicamos as condições de contorno em
.
Para
:
Para
:
Isso implica que
para todas as
, o que significa que a única solução possível é uma constante, já que
deve ser zero.
Resposta
A solução da equação de Laplace com as condições de contorno de Neumann dadas é uma constante, ou seja: