Show that nabla r^n=n r^(n-2) r

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa mostrar é que, para o vetor posição nablal(r^nr) ;=; n,r^,n-2,r e , vale
Isso é um exercício de Cálculo Vetorial: gradient (ou gradiente) de uma função escalar que depende só da distância ao ponto de origem. Para resolver vamos usar regra da cadeia e as derivadas parciais de .

Passo 2

Primeiro, escrevemos
r^n = l(raizx^2+y^2+z^2r)^n = l(x^2+y^2+z^2r)^tfrac n2
Aqui definimos uma função auxiliar
g(x,y,z) = x^2+y^2+z^2,
então .

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para o gradiente: se nablal(f(g(x,y,z))r) = f'l(g(x,y,z)r),nabla g(x,y,z) e f'(u) = n2,u^, n2 - 1 , então
nabla g = l(tfracpartial gpartial x,tfracpartial gpartial y,tfracpartial gpartial zr) = (2x,2y,2z) = 2,lang<= x,y,zrang<= = 2,r
Calculemos cada parte:
  1. Derivada de :
  2. Gradiente de :

Passo 4

Juntando tudo:
nablal(r^nr) = f'l(g(x,y,z)r)cdotnabla g = n2l(g(x,y,z)r)^ n2 -1;times;2,r
O nablal(r^nr) = n,(r^2)^ n2 -1,r = n,r^,n-2,r cancela e lembrando que , ficamos com

Resposta

boxednabla(r^n)=n,r^,n-2,r

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