The motion of a charged particle in an electromagnetic field can be obtained from the Lorentz equation* for the force on a particle in such a field. If the electric field vector is
and the magnetic field vector is
, the force on a particle of mass
that
[^0]carries a charge
and has a velocity
is given by
where we assume that
(speed of light).
If there is no electric field and if the particle enters the magnetic field in a direction perpendicular to the lines of magnetic flux, show that the trajectory is a circle with radius
where
is the cyclotron frequency.
[^0]carries a charge
If there is no electric field and if the particle enters the magnetic field in a direction perpendicular to the lines of magnetic flux, show that the trajectory is a circle with radius
Passo 1
Beleza, olha só o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma partícula de massa
e carga
entrando num campo magnético
sem nenhum campo elétrico (
). A velocidade dela
é perpendicular a
. Precisamos mostrar que ela vai descrever um movimento circular de raio
onde
é a frequência ciclotrônica.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Força de Lorentz em campo magnético (sem campo elétrico).
- Noções de produto vetorial.
- Conceito de força centrípeta e aceleração centrípeta.
Passo 2
Primeiro, escreve a força de Lorentz só com o campo magnético. Como
, fica
Quando
é perpendicular a
, a magnitude desse produto vetorial é
Além disso,
fica sempre perpendicular à velocidade — exatamente a condição pra gerar um movimento circular.
Passo 3
Num movimento circular de raio
e velocidade escalar
, a resultante das forças tem que ser a força centrípeta
Como aqui toda a força (
) é centrípeta, a gente iguala:
Passo 4
É só resolver a equação acima pro raio
. Divide dos dois lados por
e por
:
Pronto, já saiu a parte principal:
Passo 5
Agora, pra relacionar com a frequência ciclotrônica
, só lembrar da definição
Reorganizando essa expressão, a gente vê que
Resposta
O movimento é circular com raio
onde
.