The motion of a charged particle in an electromagnetic field can be obtained from the Lorentz equation* for the force on a particle in such a field. If the electric field vector is E and the magnetic field vector is B, the force on a particle of mass m that
[^0]carries a charge q and has a velocity v is given by
F=q E+q v times B
where we assume that v ll c (speed of light).
If there is no electric field and if the particle enters the magnetic field in a direction perpendicular to the lines of magnetic flux, show that the trajectory is a circle with radius
r=m vq B=vomegac
where omegac equiv q B / m is the cyclotron frequency.

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma partícula de massa r = m,vq,B = vomegac, e carga entrando num campo magnético sem nenhum campo elétrico ( ). A velocidade dela é perpendicular a . Precisamos mostrar que ela vai descrever um movimento circular de raio
onde é a frequência ciclotrônica.
Conteúdo que vamos usar:
  • Força de Lorentz em campo magnético (sem campo elétrico).
  • Noções de produto vetorial.
  • Conceito de força centrípeta e aceleração centrípeta.

Passo 2

Primeiro, escreve a força de Lorentz só com o campo magnético. Como F ;=; q,vtimesB , fica
F = q,v,B
Quando é perpendicular a , a magnitude desse produto vetorial é
Além disso, fica sempre perpendicular à velocidade — exatamente a condição pra gerar um movimento circular.

Passo 3

Num movimento circular de raio Frm cent ;=; m,v^2r e velocidade escalar q,v,B ;=; m,v^2r , a resultante das forças tem que ser a força centrípeta
Como aqui toda a força ( ) é centrípeta, a gente iguala:

Passo 4

É só resolver a equação acima pro raio r ;=;m,v^2q,B,v ;=;m,vq,B . Divide dos dois lados por r ;=;m,vq,B e por :
Pronto, já saiu a parte principal:

Passo 5

Agora, pra relacionar com a frequência ciclotrônica omegac equiv q,Bm , só lembrar da definição
r = vomegac
Reorganizando essa expressão, a gente vê que

Resposta

O movimento é circular com raio
boxedr = m,vq,B ;=;vomegac,
onde .

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