Qual é o significado das coordenadas críticas?
Passo 1
Beleza, o enunciado é bem curtinho: “Qual é o significado das coordenadas críticas?”
Conteúdo: estamos falando de Cálculo Multivariável, mais especificamente de pontos críticos de uma função de várias variáveis.
O que vamos precisar:
Conteúdo: estamos falando de Cálculo Multivariável, mais especificamente de pontos críticos de uma função de várias variáveis.
O que vamos precisar:
- Entender o que é a derivada parcial de uma função em várias variáveis;
- Saber o que é o gradiente
; - Conhecer a definição de ponto (ou coordenada) crítica: onde esse gradiente some ou não existe.
Passo 2
Teoria básica:
- Se
, em cada ponto a gente calcula as derivadas parciais - O vetor com todas elas é o gradiente:
Esse gradiente mostra a “direção de subida mais íngreme” da função.
Passo 3
Definição de coordenada (ou ponto) crítica:
É qualquer ponto onde
É qualquer ponto
- Todas as derivadas parciais são zero, isto é
,
ou - Alguma derivada parcial não existe (a função não é diferenciável ali).
Em fórmula:
Passo 4
Intuição do que isso significa:
Num ponto crítico, localmente a função “não tem rumo certo” de subir ou descer, porque o gradiente é zero (não aponta pra lugar nenhum). Esses pontos são candidatos a:
Num ponto crítico, localmente a função “não tem rumo certo” de subir ou descer, porque o gradiente é zero (não aponta pra lugar nenhum). Esses pontos são candidatos a:
- Máximos locais;
- Mínimos locais;
- Pontos de sela (nem máximo nem mínimo).
Resposta
As coordenadas críticas de uma função de várias variáveis são exatamente os pontos do domínio onde o gradiente some (
) ou onde as derivadas parciais não existem. Esses pontos são especiais porque aí a função para de “subir” ou “descer” no infinitesimal, servindo de candidato a máximos, mínimos ou pontos de sela.