Qual é o significado das coordenadas críticas?

Passo 1

Beleza, o enunciado é bem curtinho: “Qual é o significado das coordenadas críticas?”
Conteúdo: estamos falando de Cálculo Multivariável, mais especificamente de pontos críticos de uma função de várias variáveis.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é a derivada parcial de uma função em várias variáveis;
  • Saber o que é o gradiente ;
  • Conhecer a definição de ponto (ou coordenada) crítica: onde esse gradiente some ou não existe.

Passo 2

Teoria básica:
  • Se partial fpartial xi(x1,dots,xn) para;i=1,dots,n , em cada ponto nabla f(x1,dots,xn) = l(partial fpartial x1,,dots,,partial fpartial xnr) a gente calcula as derivadas parciais
  • O vetor com todas elas é o gradiente:
Esse gradiente mostra a “direção de subida mais íngreme” da função.

Passo 3

Definição de coordenada (ou ponto) crítica:
É qualquer ponto nabla f(x1,dots,xn) = (0,0,dots,0) ou partial fpartial xi;não existe para algum i onde
  1. Todas as derivadas parciais são zero, isto é
    ,
    ou
  2. Alguma derivada parcial não existe (a função não é diferenciável ali).
    Em fórmula:
ã

Passo 4

Intuição do que isso significa:
Num ponto crítico, localmente a função “não tem rumo certo” de subir ou descer, porque o gradiente é zero (não aponta pra lugar nenhum). Esses pontos são candidatos a:
  • Máximos locais;
  • Mínimos locais;
  • Pontos de sela (nem máximo nem mínimo).

Resposta

As coordenadas críticas de uma função de várias variáveis são exatamente os pontos do domínio onde o gradiente some ( ) ou onde as derivadas parciais não existem. Esses pontos são especiais porque aí a função para de “subir” ou “descer” no infinitesimal, servindo de candidato a máximos, mínimos ou pontos de sela.

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