1. Simetria Que simetria você encontrará em uma superfície que tem uma equação da forma \rho=f(\varphi) em coordenadas esféricas? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá uma superfície em coordenadas esféricas definida por
\rho = f(\varphi)
e pede para identificar que simetria essa superfície apresenta. Vamos usar a dependência (ou independência) em relação às variáveis esféricas para descobrir a simetria.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, as relações com as coordenadas cartesianas são
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi.
Como a equação \rho=f(\varphi) não envolve \theta, para cada valor fixo de \varphi e \rho=f(\varphi), ao variar \theta de 0 a 2\pi todos os pontos formam um círculo de raio
r = \rho\sin\varphi = f(\varphi)\,\sin\varphi
no plano paralelo ao plano xy.

Passo 3

A superfície é obtida ao “empilhar” esses círculos para \varphi\in[0,\pi]. Isso caracteriza um corpo de revolução em torno do eixo z, invariável por rotações em \theta.

Resposta

A superfície tem simetria de revolução (simetria axial) em torno do eixo z, pois sua equação não depende de \theta.

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