1. (Simon & Blume - Exercício 7.16) Use a eliminação de Gauss-Jordan para resolver os seguintes quatro sistemas de equações lineares. Quais variáveis são livres e quais são básicas em cada solução?
    \left\{\begin{array}{l}w-x+3 y-z=0 \\\ w+4 x-y+z=3 \\\\ 3 w+7 x+y+z=6 \\\\ 3 w+2 x+5 y-z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com quatro incógnitas (w,x,y,z) e quatro equações. O conteúdo é eliminação de Gauss‐Jordan para encontrar todas as soluções e identificar quais variáveis são básicas (pivotais) e quais são livres.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos abaixo do pivô da primeira coluna (uso R_i para linha i):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 3 & -1 & 0\\\\ 1 & 4 & -1 & 1 & 3\\\\ 3 & 7 & 1 & 1 & 6\\\\ 3 & 2 & 5 & -1 & 3 \end{array}\right]
Aplicamos R_2\leftarrow R_2-R_1,\;R_3\leftarrow R_3-3R_1,\;R_4\leftarrow R_4-3R_1.
Isso leva a
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 3 & -1 & 0\\\\ 0 & 5 & -4 & 2 & 3\\\\ 0 & 10 & -8 & 4 & 6\\\\ 0 & 5 & -4 & 2 & 3 \end{array}\right]

Passo 3

Agora usamos o pivô 5 na segunda coluna (linha 2) para zerar abaixo: R_3\leftarrow R_3-2R_2,\;R_4\leftarrow R_4-R_2. O sistema fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 3 & -1 & 0\\\\ 0 & 5 & -4 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Só restaram duas equações não triviais.

Passo 4

Voltando às equações originais correspondentes às duas primeiras linhas:
da linha 2 temos
5x -4y +2z = 3
e da linha 1 temos
w - x +3y - z = 0.
Como temos 4 incógnitas e só 2 equações independentes, escolhemos y e z como parâmetros livres, digamos
y = s,\quad z = t.
Então
x = \frac{3 + 4y - 2z}{5} = \frac{3 + 4s - 2t}{5},
w = x -3y +z = \frac{3 + 4s -2t}{5} -3s + t = \frac{3 -11s +3t}{5}.

Passo 5

Identificamos as variáveis básicas e livres:
  • Básicas (pivotais): w e x.
  • Livres: y e z.

Resposta

A solução geral é
\begin{cases} w = \displaystyle\frac{3 -11s +3t}{5},\\[6pt] x = \displaystyle\frac{3 +4s -2t}{5},\\[4pt] y = s,\\\ z = t, \end{cases}
com s,t\in\mathbb{R}.
Variáveis básicas: w,x. Variáveis livres: y,z.]

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