1. (Simon & Blume - Exercício 7.16) Use a eliminação de Gauss-Jordan para resolver os seguintes quatro sistemas de equações lineares. Quais variáveis são livres e quais são básicas em cada solução?
    \left\{\begin{array}{l}w+2 x+y-z=1 \\\\ 3 w-x-y+2 z=3 \\\\ -x+y-z=1 \\\\ 2 w+3 x+3 y-3 z=3\end{array}\right.

Passo 1

O sistema é
\begin{cases} w + 2x + y - z = 1,\\\\ 3w - x - y + 2z = 3,\\\\ -\,x + y - z = 1,\\\\ 2w + 3x + 3y - 3z = 3.
Vamos usar eliminação de Gauss–Jordan para levar a matriz aumentada a forma reduzida por linhas e assim encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada e zerando as entradas abaixo de w (primeira coluna) usando R_2\!\leftarrow\!R_2-3R_1 e R_4\!\leftarrow\!R_4-2R_1:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & -1 & 1\\\\ 3 & -1 & -1 & 2 & 3\\\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 3 & 3 & -3 & 3 \end{array}\right] \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & -7 & -4 & 5 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right].
Note que agora só a primeira linha tem coeficiente não nulo em w.

Passo 3

Escolhemos pivô -1 em (3,2), permutamos com a linha 2 e escalonamos para 1:
R_2\!\leftrightarrow\!R_3,\quad R_2\!\leftarrow\!-\,R_2 \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1\\\\ 0 & -7 & -4 & 5 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right].
Em seguida, zeramos as outras entradas na coluna 2:
R_1\!\leftarrow\!R_1-2R_2,\quad R_3\!\leftarrow\!R_3+7R_2,\quad R_4\!\leftarrow\!R_4+R_2
resultando em
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 3 & -3 & 3\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac1{11} & -\tfrac{4}{11}\\\\ 0 & 0 & -11 & 12 & -7\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Para a coluna 3, dividimos a linha 3 por -11 e depois eliminamos acima:
R_3\!\leftarrow\!-\tfrac1{11}R_3 \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 3 & -3 & 3\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac1{11} & -\tfrac{4}{11}\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{12}{11} & \tfrac{7}{11}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right],
R_1\!\leftarrow\!R_1-3R_3,\quad R_2\!\leftarrow\!R_2+R_3 \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & \tfrac{3}{11} & \tfrac{12}{11}\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{11} & -\tfrac{4}{11}\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{12}{11} & \tfrac{7}{11}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 5

Na forma final vemos pivôs nas colunas de w,x,y. A coluna de z não tem pivô, logo \,z é variável livre. Denotando z=t, obtemos das linhas:
w + \tfrac{3}{11}t = \tfrac{12}{11},\quad x - \tfrac{1}{11}t = -\tfrac{4}{11},\quad y - \tfrac{12}{11}t = \tfrac{7}{11}.
Assim
w = \tfrac{12}{11} - \tfrac{3}{11}t,\quad x = -\tfrac{4}{11} + \tfrac{1}{11}t,\quad y = \tfrac{7}{11} + \tfrac{12}{11}t,\quad z = t.

Resposta

As variáveis básicas são w,x,y e a variável livre é z. A solução geral é
\begin{cases} w = \dfrac{12}{11} - \dfrac{3}{11}\,t,\\[6pt] x = -\dfrac{4}{11} + \dfrac{1}{11}\,t,\\[6pt] y = \dfrac{7}{11} + \dfrac{12}{11}\,t,\\[6pt] z = t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.]

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