1. (Simon & Blume - Exercício 7.16) Use a eliminação de Gauss-Jordan para resolver os seguintes quatro sistemas de equações lineares. Quais variáveis são livres e quais são básicas em cada solução?
    \left\{\begin{array}{l}w+2 x+3 y-z=1 \\\\ -w+x+2 y+3 z=2 \\\\ 3 w-x+y+2 z=2 \\\\ 2 w+3 x-y+z=1\end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema
\begin{cases} w+2x+3y - z = 1,\\\\ -w+x+2y+3z = 2,\\\\ 3w - x + y+2z = 2,\\\\ 2w+3x - y + z = 1, \end{cases}
e queremos usar eliminação de Gauss–Jordan para chegar à forma reduzida e ler a solução. Aqui aplicaremos operações de linha na matriz aumentada para obter pivôs iguais a 1 e zeros em todas as outras entradas da coluna, até resolver para w,x,y,z.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & 2 & 3 & 2\\\\ 3 & -1 & 1 & 2 & 2\\\\ 2 & 3 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e usamos R_2\leftarrow R_2+R_1, R_3\leftarrow R_3-3R_1, R_4\leftarrow R_4-2R_1. Isso zera todas as entradas da coluna de w abaixo do pivô:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 & 1\\\\ 0 & 3 & 5 & 2 & 3\\\\ 0 & -7 & -8 & 5 & -1\\\\ 0 & -1 & -7 & 3 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora fazemos R_2\leftarrow \tfrac{1}{3}R_2 para pivô em 1 na coluna de x, e depois zeramos as outras entradas da coluna 2 por
R_1\leftarrow R_1-2R_2,\quad R_3\leftarrow R_3+7R_2,\quad R_4\leftarrow R_4+R_2.
Isso leva a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{7}{3} & -1\\\\ 0 & 1 & \tfrac{5}{3} & \tfrac{2}{3} & 1\\\\ 0 & 0 & \tfrac{11}{3} & \tfrac{29}{3} & 6\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{16}{3} & \tfrac{11}{3} & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Fazemos R_3\leftarrow \tfrac{3}{11}R_3 para pivô em 1 na coluna de y, e zeramos as outras entradas dessa coluna por
R_1\leftarrow R_1+\tfrac{1}{3}R_3,\quad R_2\leftarrow R_2-\tfrac{5}{3}R_3,\quad R_4\leftarrow R_4+\tfrac{16}{3}R_3.
Obtém-se
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{16}{11} & -\tfrac{5}{11}\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{41}{11} & -\tfrac{19}{11}\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{29}{11} & \tfrac{18}{11}\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{195}{11} & \tfrac{96}{11} \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, R_4\leftarrow \tfrac{11}{195}R_4 dá pivô em z igual a 1 e, como não há outras entradas na coluna, a forma está totalmente reduzida. Lemos:
z = \tfrac{96}{11}\cdot\tfrac{11}{195} = \tfrac{32}{65},
y + \tfrac{29}{11}\,z = \tfrac{18}{11}\;\Rightarrow\;y = \tfrac{22}{65},
x - \tfrac{41}{11}\,z = -\tfrac{19}{11}\;\Rightarrow\;x = \tfrac{7}{65},
w - \tfrac{16}{11}\,z = -\tfrac{5}{11}\;\Rightarrow\;w = \tfrac{17}{65}.
Não há variáveis livres, pois cada coluna de incógnita teve pivô.

Resposta

w = \tfrac{17}{65},\quad x = \tfrac{7}{65},\quad y = \tfrac{22}{65},\quad z = \tfrac{32}{65}.
Variáveis básicas: w,x,y,z.
Variáveis livres: nenhuma.

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