1. (Simon & Blume - Exercício 7.16) Use a eliminação de Gauss-Jordan para resolver os seguintes quatro sistemas de equações lineares. Quais variáveis são livres e quais são básicas em cada solução?
    \left\{\begin{array}{l}w+x-y+2 z=3 \\\\ 2 w+2 x-2 y+4 z=6 \\\\ -3 w-3 x+3 y-6 z=-9 \\\\ -2 w-2 x+2 y-4 z=-6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares em quatro incógnitas (w,x,y,z) e pede para usar eliminação de Gauss–Jordan para encontrar a solução geral e indicar quais variáveis são básicas e quais são livres. Vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares de linha até chegar à forma reduzida e então ler a solução paramétrica.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada do sistema
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 &\vline& 3\\\\ 2 & 2 & -2 & 4 &\vline& 6\\\\ -3 & -3 & 3 & -6 &\vline& -9\\\\ -2 & -2 & 2 & -4 &\vline& -6 \end{pmatrix}
observamos que as linhas 2,3,4 são múltiplos da linha 1. Vamos eliminar abaixo do pivô em w na linha 1.

Passo 3

Aplicando
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1,\quad R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1
obtém-se
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 &\vline& 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 &\vline& 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 &\vline& 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 &\vline& 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

A única equação não-trivial remanescente é
w + x - y + 2z = 3.
Já temos a forma reduzida de Gauss–Jordan: pivô 1 na coluna de w e todas as outras linhas nulas.

Passo 5

Como há pivô apenas na coluna de w, a variável w é básica. As colunas de x, y e z não têm pivô, logo são variáveis livres. Introduzimos parâmetros
x = s,\quad y = t,\quad z = u,\quad s,t,u\in\mathbb R,
e expressamos
w = 3 - x + y - 2z = 3 - s + t - 2u.

Resposta

A solução geral é
w = 3 - x + y - 2z,\quad x,y,z\in\mathbb R.
Variável básica: w.
Variáveis livres: x,\,y,\,z.

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