1. (Simon & Blume - Exercício 9.18) Considere o seguinte IS-LM linear mais elaborado.
    (a) Y=C+I+G
    (b) C=c_{0}+c_{1}(Y-T)-c_{2} r
    (c) T=t_{0}+t_{1} Y
    (d) I=I_{0}+a_{0} Y-a r
    (e) M_{s}=m Y+M_{0}-h r
Substitua (c) em (b) para obter (b’); então substitua (b’) e (d) em (a) para ter a nova curva IS. Combine isso com (e) e use a regra de Cramer para resolver este sistema para Y e r em termos das variáveis exógenas. Mostre que um aumento em G ou uma redução de t_{0} ou t_{1} aumentará Y; em termos macroeconômicos, a política fiscal keynesiana funciona neste modelo. Mostre que essas mudanças também aumentam r. Com relação a política monetária, mostre que um aumento em M_{s}, aumenta Y e reduz r.

Passo 1

O enunciado propõe um modelo IS–LM linear mais elaborado com as equações
\text{(a) }Y=C+I+G
\text{(b) }C=c_{0}+c_{1}(Y-T)-c_{2}\,r
\text{\text{(c)} }T=t_{0}+t_{1}\,Y
\text{(d) }I=I_{0}+a_{0}\,Y - a\,r
\text{(e) }M_{s}=m\,Y + M_{0} - h\,r
O objetivo é: (i) substituir (c) em (b) para obter a nova função consumo (b′); (ii) inserir (b′) e (d) em (a) para achar a curva IS; (iii) combinar IS com (e) e usar a regra de Cramer para resolver Y e r em função das variáveis exógenas; (iv) mostrar os efeitos de G, de t_{0},t_{1} e de M_{s} sobre Y e r.

Passo 2

Substituindo \text{(c)} em (b) temos
C = c_{0} + c_{1}\bigl(Y - (t_{0}+t_{1}Y)\bigr) - c_{2}\,r = \bigl(c_{0}-c_{1}t_{0}\bigr) + c_{1}(1 - t_{1})\,Y - c_{2}\,r.
Essa é a equação (b').

Passo 3

Agora em (a) substituímos (b') e (d):
Y = \bigl(c_{0}-c_{1}t_{0}\bigr) + c_{1}(1 - t_{1})Y - c_{2}\,r + I_{0} + a_{0}Y - a\,r + G.
Agrupando termos em Y e em r:
Y - \bigl[c_{1}(1 - t_{1}) + a_{0}\bigr]Y = (c_{0}-c_{1}t_{0} + I_{0} + G) - (c_{2}+a)\,r.
Logo, a curva IS se escreve
\underbrace{\bigl[1 - c_{1}(1 - t_{1}) - a_{0}\bigr]}_{A}\,Y \;+\;(c_{2}+a)\,r \;=\; c_{0} - c_{1}t_{0} + I_{0} + G.

Passo 4

A equação LM é
m\,Y - h\,r = M_{s} - M_{0}.
Portanto o sistema em (Y,r)\) é \[\begin{cases} A\,Y + (c_{2}+a)\,r = c_{0}-c_{1}t_{0}+I_{0}+G,\\\ m\,Y - h\,r = M_{s}-M_{0}, \end{cases}
com (A=1 - c_{1}(1 - t_{1}) - a_{0}]. Pela regra de Cramer, o determinante do sistema é
\Delta = \begin{vmatrix} A & c_{2}+a \\[6pt] m & -h \end{vmatrix} = -\,\bigl[h\,A + m\,(c_{2}+a)\bigr].]

Passo 5

O numerador para Y é
\Delta_{Y} =\begin{vmatrix} c_{0}-c_{1}t_{0}+I_{0}+G & c_{2}+a \\[4pt] M_{s}-M_{0} & -h \end{vmatrix} = -\,h\,(c_{0}-c_{1}t_{0}+I_{0}+G)\;-\;(c_{2}+a)\,(M_{s}-M_{0}),
logo
Y = \frac{\Delta_{Y}}{\Delta} = \frac{h\,\bigl(c_{0}-c_{1}t_{0}+I_{0}+G\bigr)\;+\;(c_{2}+a)\,(M_{s}-M_{0})} {h\,A \;+\; m\,(c_{2}+a)}.
Para r, o numerador é
\Delta_{r} =\begin{vmatrix} A & c_{0}-c_{1}t_{0}+I_{0}+G \\[4pt] m & M_{s}-M_{0} \end{vmatrix} = A\,(M_{s}-M_{0}) \;-\; m\,\bigl(c_{0}-c_{1}t_{0}+I_{0}+G\bigr),
logo
r = \frac{\Delta_{r}}{\Delta} = \frac{m\,\bigl(c_{0}-c_{1}t_{0}+I_{0}+G\bigr)\;-\;A\,(M_{s}-M_{0})} {h\,A \;+\; m\,(c_{2}+a)}.]

Passo 6

Agora os sinais das variações parciais:
  • Y/∂ G = h/ [hA + m(c_{2}+a)] > 0.
  • Y/∂ t_{0} = -h\,c_{1}/denominador < 0\Rightarrow redução em t_{0} aumenta Y.
  • Y/∂ t_{1} = -h\,c_{1}\,[\,h(c_{0}-c_{1}t_{0}+I_{0}+G)+(c_{2}+a)(M_{s}-M_{0})]/de n^{2} < 0\Rightarrow queda em t_{1} aumenta Y.
    Em todos os casos, ∂ r/∂ G>0 e ∂ r/∂ t_{0}<0, ∂ r/∂ t_{1}<0, mostrando que a política fiscal eleva Y e também r.
    Para a política monetária:
  • Y/∂ M_{s} = (c_{2}+a)/den > 0.
  • r/∂ M_{s} = -A/den < 0.

Resposta

Y = \frac{h\,\bigl(c_{0}-c_{1}t_{0}+I_{0}+G\bigr) + (c_{2}+a)\,(M_{s}-M_{0})} {\,h\bigl[1 - c_{1}(1 - t_{1}) - a_{0}\bigr] + m\,(c_{2}+a)\,},
r = \frac{m\,\bigl(c_{0}-c_{1}t_{0}+I_{0}+G\bigr) - \bigl[1 - c_{1}(1 - t_{1}) - a_{0}\bigr](M_{s}-M_{0})} {\,h\bigl[1 - c_{1}(1 - t_{1}) - a_{0}\bigr] + m\,(c_{2}+a)\,}.
As comparações mostram que aumento de G ou redução de t_{0},t_{1} elevam Y e r, e aumento de M_{s} eleva Y e reduz r.

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