1. (Simon & Blume - Exercício 9.13) Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equações:
    \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}-3 x_{2}=2 \\\\ 4 x_{1}-6 x_{2}+x_{3}=7 \\\ x_{1}+10 x_{2}=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}-3x_{2}=2,\\\\ 4x_{1}-6x_{2}+x_{3}=7,\\\ x_{1}+10x_{2}=1 \end{cases}
usando a regra de Cramer. Vamos precisar montar a matriz dos coeficientes A, calcular \det(A) e depois, para cada i, montar a matriz A_{i} trocando a i-ésima coluna por b e usar
x_{i}=\frac{\det(A_{i})}{\det(A)}.

Passo 2

Definimos a matriz dos coeficientes e o vetor termo independente:
A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 0 \\\\ 4 & -6 & 1 \\\\ 1 & 10 & 0 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}2\\\ 7\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) =2\begin{vmatrix}-6 & 1\\\ 10 & 0\end{vmatrix} -(-3)\begin{vmatrix}4 & 1\\\ 1 & 0\end{vmatrix} +0\cdot\bigl(\cdots\bigr) =2\bigl(-6\cdot0-1\cdot10\bigr)+3\bigl(4\cdot0-1\cdot1\bigr) =-20-3 =-23.

Passo 4

Para x_{1}, trocamos a primeira coluna de A por b, obtendo
A_{1}=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 0\\\\ 7 & -6 & 1\\\\ 1 & 10 & 0 \end{pmatrix},
\det(A_{1}) =2\begin{vmatrix}-6 & 1\\\ 10 & 0\end{vmatrix} -(-3)\begin{vmatrix}7 & 1\\\ 1 & 0\end{vmatrix} =2(-10)+3(-3) =-20-9 =-29.
Logo
x_{1}=\frac{\det(A_{1})}{\det(A)}=\frac{-29}{-23}=1.

Passo 5

Para x_{2}, trocamos a segunda coluna de A por b, obtendo
A_{2}=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\\\ 4 & 7 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
\det(A_{2}) =2\begin{vmatrix}7 & 1\\\ 1 & 0\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}4 & 1\\\ 1 & 0\end{vmatrix} =2(-1)-2(-1) =0.
Logo
x_{2}=\frac{\det(A_{2})}{\det(A)}=\frac{0}{-23}=0.

Passo 6

Para x_{3}, trocamos a terceira coluna de A por b, obtendo
A_{3}=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 2\\\\ 4 & -6 & 7\\\\ 1 & 10 & 1 \end{pmatrix}.
Expandindo na primeira linha:
\det(A_{3}) =2\begin{vmatrix}-6 & 7\\\ 10 & 1\end{vmatrix} -(-3)\begin{vmatrix}4 & 7\\\ 1 & 1\end{vmatrix} +2\begin{vmatrix}4 & -6\\\ 1 & 10\end{vmatrix} =2(-76)+3(-3)+2(46) =-152-9+92 =-69.
Logo
x_{3}=\frac{\det(A_{3})}{\det(A)}=\frac{-69}{-23}=3.

Resposta

x_{1}=1,\quad x_{2}=0,\quad x_{3}=3.

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