1. (Simon & Blume - Exercício 7.19) Do Capítulo 6, a distribuição estacionária do modelo de Markov de desemprego satisfaz o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} (q-1) x+p y=0 \\\ (1-q) x-p y=0 \\\ x+y=1 \end{array}\right.
(a) Se p e q estão entre 0 e 1 , quantas soluções esse sistema tem? Por quê?
(b) Ignorando a condição de que p e q devem estar entre 0 e 1 , encontre os valores de p e q tais que esse sistema não tenha solução.

Passo 1

Estamos buscando a distribuição estacionária (x,y)\) do modelo de Markov de desemprego, que satisfaz o sistema \[\begin{cases} (q-1)\,x + p\,y = 0,\\\ (1-q)\,x - p\,y = 0,\\\ x + y = 1. \end{cases}
Aqui p\] e \(q são parâmetros que, no contexto original, estão entre 0 e 1. Vamos ver quantas soluções há neste caso e depois estudar quando o sistema fica impossível de resolver.

Passo 2

Observe que a segunda equação é simplesmente -1 vezes a primeira:
(1-q)\,x - p\,y = -\bigl((q-1)\,x + p\,y\bigr).
Logo só há uma equação não‐trivial vindo das duas primeiras. Dela extraímos
p\,y = (1-q)\,x.

Passo 3

Agora combinamos
p\,y = (1-q)\,x \quad\text{com}\quad x + y = 1.
Da primeira obtemos y = \frac{1-q}{p}\,x. Substituindo em x+y=1
x + \frac{1-q}{p}\,x = 1 \quad\Longrightarrow\quad x\biggl(1 + \frac{1-q}{p}\biggr) = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{p}{\,p + (1-q)\,}.
E então
y = 1 - x = \frac{1-q}{\,p + (1-q)\,}.
Tudo isso vale desde que o denominador não seja zero, isto é,
p + (1 - q) \neq 0.

Passo 4

Se p e q estão entre 0 e 1, então p>0 e 1-q>0, logo
p + (1-q) > 0.
Assim o denominador nunca zera, e existe exatamente uma solução (x,y) dada pelas fórmulas acima.

Passo 5

Para investigar falta de solução, imponha
p + (1-q) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad q = 1 + p.
Então a equação p\,y = (1-q)\,x fica
p\,y = -\,p\,x \quad\Longrightarrow\quad p\,(x+y)=0.
Mas x+y=1, então isso obriga p\cdot1=0, ou seja p=0.
  • Se q=1+p com p\neq0, há contradição e não há solução.
  • Se q=1 e p=0, as duas primeiras equações viram 0=0 e sobra só x+y=1, dando infinitas soluções.

Resposta

(a) Para 0<p<1 e 0<q<1exatamente uma solução, pois as duas primeiras equações são dependentes e o sistema resultante tem duas equações independentes em duas incógnitas com denominador positivo.
(b) Ignorando 0\le p,q\le1, o sistema não tem solução sempre que
q = 1 + p \quad\text{e}\quad p \neq 0.

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