1. (Simon & Blume - Exercício 7.17)
    (a) Use a flexibilidade da variável livre para encontrar inteiros positivos que satisfazem o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=13 \\\ x+5 y+10 z=61 \end{array}\right.
(b) Suponha que você entregue uma nota de um dólar por um doce de 6 centavos e receba 16 moedas de troco - todas pennies ( 1 centavo), nickels ( 5 centavos) e dimes (10 centavos). Quantas moedas de cada tipo você recebe? [Dica: Veja a parte (a)]

Passo 1

O enunciado pede para resolver dois problemas quase idênticos: (a) um sistema de duas equações lineares em três variáveis e (b) um problema de troco com pennies, nickels e dimes. O conteúdo é solução geral de sistemas lineares com uma variável livre (parâmetro) e depois impor que as variáveis sejam inteiras positivas.

Passo 2

Para (a) chamemos as variáveis de x,y,z. Temos
\begin{cases} x+y+z=13,\\\ x+5y+10z=61. \end{cases}
Da primeira equação isolamos
x=13 - y - z
e substituímos na segunda:
(13 - y - z) + 5y +10z =61 \;\Longrightarrow\; 4y +9z=48.

Passo 3

Da equação 4y+9z=48 vemos que z deve ser múltiplo de 4 para y ser inteiro. Seja
z=4k.
Então
y=\frac{48-9z}{4}=12-9k, \quad x=13-y-z=1+5k.
Como queremos x,y,z>0, temos k=1, o que dá
(x,y,z)=(1+5\cdot1,\;12-9\cdot1,\;4\cdot1)=(6,3,4).

Passo 4

Para (b) deixamos p = número de pennies, n = nickels, d = dimes. Sabemos que
p+n+d=16, \qquad p+5n+10d=94
pois o doce custa 6 cents e você paga 100 cents, recebendo 94 cents em 16 moedas. Substituindo p=16-n-d na segunda equação:
(16-n-d)+5n+10d=94 \;\Longrightarrow\; 4n+9d=78.

Passo 5

Daí d deve ser da forma d=4m+2 para n=(78-9d)/4 ser inteiro. Seja
d=4m+2 \;\Longrightarrow\; n=\frac{78-9d}{4}=19{,}5-2{,}25d=6-9m, \quad p=16-n-d=4+5m.
Para p,n,d>0 m=1 funciona, dando
(p,n,d)=(4,6,6).

Resposta

(a) (x,y,z)=(6,3,4)
(b) Você recebe 4 pennies, 6 nickels e 6 dimes.

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