- (Simon & Blume - Exercício 7.17)
(a) Use a flexibilidade da variável livre para encontrar inteiros positivos que satisfazem o sistema
(b) Suponha que você entregue uma nota de um dólar por um doce de 6 centavos e receba 16 moedas de troco - todas pennies ( 1 centavo), nickels ( 5 centavos) e dimes (10 centavos). Quantas moedas de cada tipo você recebe? [Dica: Veja a parte (a)]
(a) Use a flexibilidade da variável livre para encontrar inteiros positivos que satisfazem o sistema
Passo 1
O enunciado pede para resolver dois problemas quase idênticos: (a) um sistema de duas equações lineares em três variáveis e (b) um problema de troco com pennies, nickels e dimes. O conteúdo é solução geral de sistemas lineares com uma variável livre (parâmetro) e depois impor que as variáveis sejam inteiras positivas.
Passo 2
Para (a) chamemos as variáveis de
. Temos
Da primeira equação isolamos
e substituímos na segunda:
Passo 3
Da equação
vemos que
deve ser múltiplo de 4 para
ser inteiro. Seja
Então
Como queremos
, temos
, o que dá
Passo 4
Para (b) deixamos
= número de pennies,
= nickels,
= dimes. Sabemos que
pois o doce custa 6 cents e você paga 100 cents, recebendo 94 cents em 16 moedas. Substituindo
na segunda equação:
Passo 5
Daí
deve ser da forma
para
ser inteiro. Seja
Para
só
funciona, dando
Resposta
(a)
(b) Você recebe 4 pennies, 6 nickels e 6 dimes.
(b) Você recebe 4 pennies, 6 nickels e 6 dimes.