1. (Simon & Blume - Exercício 8.19) Use o método de Gauss-Jordan para inverter cada matriz abaixo ou para provar que ela é singular:
    \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ -4 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Gauss–Jordan na matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[6pt] -4 & -2\end{pmatrix}
para obter A^{-1} ou, se não for possível, provar que A é singular. Vamos então montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares de linha.]

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\left[\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\[6pt] -4 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 3

Eliminamos o primeiro elemento da segunda linha usando
R_{2}\leftarrow R_{2} + 2\,R_{1}.
Isso gera
\left[\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right].
Como a segunda linha, no bloco esquerdo, ficou (0\;\;0), não há como obter um pivô não nulo na segunda coluna. Logo não podemos reduzir a identidade I_2 no bloco esquerdo.]

Passo 4

A impossibilidade de produzir um pivô na segunda linha significa que \rank(A)<2. Portanto, A não é invertível.

Resposta

A matriz é singular; não existe A^{-1}.

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