1. (Simon & Blume - Exercício 8.19) Use o método de Gauss-Jordan para inverter cada matriz abaixo ou para provar que ela é singular:
    \left[\begin{array}{ccc}2 & 4 & 0 \\\\ 4 & 6 & 3 \\\\ -6 & -10 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para inverter a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0\\\\ 4 & 6 & 3\\\\ -6 & -10 & 0 \end{pmatrix}
usando o método de Gauss–Jordan. Para isso, vamos montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares de linha até obter [I\mid A^{-1}].

Passo 2

Começamos com a aumentada
\Bigl[\;A\mid I\Bigr] = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 &\mid& 1 & 0 & 0\\\\ 4 & 6 & 3 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ -6 & -10 & 0 &\mid& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Fazemos
\text{R1}\leftarrow \tfrac12\,\text{R1},\quad \text{R2}\leftarrow \text{R2}-4\,\text{R1},\quad \text{R3}\leftarrow \text{R3}+6\,\text{R1},
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 &\mid& \tfrac12 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 3 &\mid& -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 &\mid& 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora pivotamos na coluna 2:
\text{R2}\leftarrow -\tfrac12\,\text{R2}
vai dar pivô 1 em (2,2). Depois eliminamos coluna 2 em R1 e R3:
\text{R1}\leftarrow \text{R1}-2\,\text{R2},\quad \text{R3}\leftarrow \text{R3}-2\,\text{R2}.
Isso gera
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 &\mid& -\tfrac32 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -\tfrac32 &\mid& 1 & -\tfrac12 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 &\mid& 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Finalmente pivotamos na coluna 3:
\text{R3}\leftarrow \tfrac13\,\text{R3},
seguido de
\text{R1}\leftarrow \text{R1}-3\,\text{R3},\quad \text{R2}\leftarrow \text{R2}+\tfrac32\,\text{R3}.
O resultado é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &\mid& -\tfrac52 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 &\mid& \tfrac32 & 0 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 &\mid& \tfrac13 & \tfrac13 & \tfrac13 \end{pmatrix},
isto é, já temos [I\mid A^{-1}].

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{5}{2} & 0 & -1\\[6pt] \tfrac{3}{2} & 0 & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

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