1. (Simon & Blume - Exercício 7.2) Resolva os seguintes sistemas por substituição, por eliminação Gaussiana e por eliminação de Gauss-Jordan:
    \left\{\begin{array}{l}x-3 y+6 z=-1 \\\\ 2 x-5 y+10 z=0 \\\\ 3 x-8 y+17 z=1 ;\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x - 3y + 6z = -1,\\\\ 2x - 5y +10z = 0,\\\\ 3x - 8y +17z = 1, \end{cases}
e pede a solução pelos métodos de substituição, eliminação gaussiana e eliminação de Gauss–Jordan. Vamos aplicar a teoria de sistemas lineares: isolar variáveis, realizar operações elementares em matrizes aumentadas e levar a matriz a formas triangular e à forma reduzida por linhas.

Passo 2

Método da substituição.
Da primeira equação isolamos
x = -1 + 3y - 6z.
Substituímos em 2x - 5y +10z = 0:
2(-1+3y-6z) -5y +10z =0
-2 +6y -12z -5y +10z =0
y -2z =2 \quad\Longrightarrow\quad y = 2 +2z.
Agora substituímos x e y na terceira equação 3x-8y+17z=1:
3(-1+3y-6z) -8y +17z =1
-3 +9y -18z -8y +17z =1
y - z =4.
Usando y=2+2z nessa última, obtemos
2 +2z - z =4 \quad\Longrightarrow\quad z =2,
y = 2 +2\cdot2 =6,
x = -1 +3\cdot6 -6\cdot2 = -1 +18 -12 =5.

Passo 3

Método da eliminação gaussiana.
Escrevemos a matriz aumentada
\bigl[\,A\mid b\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 6 & \mid & -1\\\\ 2 & -5 &10 & \mid & 0\\\\ 3 & -8 &17 & \mid & 1 \end{pmatrix}.
Aplicamos R_2 \leftarrow R_2 -2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 -3R_1:
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 6 & \mid & -1\\\\ 0 & 1 & -2 & \mid & 2\\\\ 0 & 1 & -1 & \mid & 4 \end{pmatrix}.
Em seguida R_3 \leftarrow R_3 - R_2:
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 6 & \mid & -1\\\\ 0 & 1 & -2 & \mid & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{pmatrix}.
Agora fazemos retro­substituição: da terceira linha vem z=2; da segunda, y -2\cdot2 =2 logo y=6; da primeira, x -3\cdot6 +6\cdot2 = -1 logo x=5.

Passo 4

Método de Gauss–Jordan.
Partimos da matriz triangular obtida no passo anterior
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 6 & \mid & -1\\\\ 0 & 1 & -2& \mid & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{pmatrix}.
Eliminamos acima dos pivôs. Primeiro R_2 \leftarrow R_2 +2R_3:
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 6 & \mid & -1\\\\ 0 & 1 & 0 & \mid & 6\\\\ 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{pmatrix}.
Depois R_1 \leftarrow R_1 -6R_3:
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & \mid & -13\\\\ 0 & 1 & 0 & \mid & 6\\\\ 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{pmatrix}.
Por fim R_1 \leftarrow R_1 +3R_2 leva à forma reduzida
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \mid & 5\\\\ 0 & 1 & 0 & \mid & 6\\\\ 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{pmatrix},
de onde x=5, y=6, z=2.

Resposta

(x,y,z) = (5,6,2).

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