1. (Simon & Blume - Exercício 7.21) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ?
    \left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 7 & 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 7 & 6 \end{pmatrix}
e pergunta quantas soluções tem o sistema Ax=b (i) no caso homogêneo b=0 e (ii) para um b=(b_{1},b_{2},b_{3}) geral. Vamos usar conceitos de determinante, posto (rank) e o teorema de Rouché–Capelli.

Passo 2

Para ver se A é invertível, calculamos o determinante:
\det(A) =1\cdot(1\cdot6 -0\cdot7) -4\cdot(2\cdot6-0\cdot0) +3\cdot(2\cdot7-1\cdot0) =6 -48 +42 =0.
Como \det(A)=0, A é singular e não tem inversa.

Passo 3

Para achar o posto de A, fazemos operações de linha. Defina
L_{2}' = L_{2} - 2\,L_{1} \;\Longrightarrow\; L_{2}' = (2,1,0) -2\,(1,4,3) = (0,-7,-6) = -\,L_{3}.
Logo uma linha é combinação das outras e \rank(A)=2.

Passo 4

No caso homogêneo b=0, o espaço de soluções é o núcleo de A. Pela fórmula de dimensões,
\dim\ker(A) = n - \rank(A) = 3 - 2 = 1,
ou seja, há infinitas soluções, formando uma reta no \mathbb{R}^3.

Passo 5

Para b geral, aplicamos Rouché–Capelli: o sistema é consistente se e somente se \rank([A\mid b])=\rank(A)=2. A dependência entre linhas de A implica a mesma relação entre as componentes de b:
L_{2} = 2\,L_{1} - L_{3} \quad\Longrightarrow\quad b_{2} = 2\,b_{1} - b_{3}.
Se b_{2}=2b_{1}-b_{3}, então \rank([A\mid b])=2 e há infinitas soluções (grau de liberdade 1). Caso contrário, \rank([A\mid b])=3 e o sistema não tem solução.

Resposta

(i) No caso homogêneo, há infinitas soluções (dimensão do núcleo 1).
(ii) Para b geral, o sistema é consistente somente se
b_{2}=2\,b_{1}-b_{3},
caso em que tem infinitas soluções; caso contrário, não admite solução.

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