1. (Simon & Blume - Exercício 8.1) Sejam
    A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\\\ 4 & -1 & 2\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], E=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1\end{array}\right]
    (a) Compute cada uma das seguintes matrizes se ela for definida:
    A+B, B+C, B-A, 3 B, A B, C A, C E, E C, B^{T},(C A)^{T}, A^{T} C^{T}.
    (b) Verifique que (D A)^{T}=A^{T} D^{T}.

Passo 1

O enunciado pede várias operações de matrizes (adição, subtração, multiplicação escalar, produto, transposta) sobre
A=\begin{pmatrix}2 & 3 & 1\\\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\\ 4 & -1 & 2\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & -1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad E=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Vamos usar regras de dimensões para ver o que é definido e, depois, calcular cada um.

Passo 2

Determinar dimensões e definições:
A,B são 2\times3; C,D são 2\times2; E é 2\times1.
– Duas matrizes só se somam ou subtraem se tiverem mesma dimensão.
– Produto X\,Y está definido se o número de colunas de X coincidir com o número de linhas de Y.

Passo 3

Calcular soma, subtração e multiplicação escalar (todas bem definidas entre as de mesma dimensão):
A+B =\begin{pmatrix}2+0 & 3+1 & 1+(-1)\\[6pt]0+4 & -1+(-1) & 2+2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 4 & 0\\\ 4 & -2 & 4\end{pmatrix},
B - A =\begin{pmatrix}0-2 & 1-3 & -1-1\\[4pt]4-0 & -1-(-1) & 2-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & -2 & -2\\\ 4 & 0 & 0\end{pmatrix},
3B =3\cdot\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\\ 4 & -1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 3 & -3\\\ 12 & -3 & 6\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular produtos definidos:
C\,A =\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 3 & 1\\\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot2+2\cdot0 & 1\cdot3+2\cdot(-1) & 1\cdot1+2\cdot2\\[4pt] 3\cdot2+(-1)\cdot0 & 3\cdot3+(-1)\cdot(-1) & 3\cdot1+(-1)\cdot2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 1 & 5\\\ 6 & 10 & 1\end{pmatrix},
C\,E =\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot(-1)\\\ 3\cdot1+(-1)\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ 4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular transpostas e comparar (CA)^T com A^T\,C^T:
B^T =\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\\ 4 & -1 & 2\end{pmatrix}^T =\begin{pmatrix}0 & 4\\\ 1 & -1\\\ -1 & 2\end{pmatrix},
(CA)^T =\begin{pmatrix}2 & 1 & 5\\\ 6 & 10 & 1\end{pmatrix}^T =\begin{pmatrix}2 & 6\\\ 1 & 10\\\ 5 & 1\end{pmatrix},
A^T\,C^T =\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 3 & -1\\\ 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 3\\\ 2 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\cdot1+0\cdot2 & 2\cdot3+0\cdot(-1)\\\\ 3\cdot1+(-1)\cdot2 & 3\cdot3+(-1)\cdot(-1)\\\\ 1\cdot1+2\cdot2 & 1\cdot3+2\cdot(-1) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 6\\\ 1 & 10\\\ 5 & 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Verificar (D\,A)^T = A^T\,D^T:
D\,A =\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 3 & 1\\\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & 5 & 4\\\ 2 & 2 & 3\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad (DA)^T =\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 5 & 2\\\ 4 & 3\end{pmatrix},
A^T\,D^T =\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 3 & -1\\\ 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 5 & 2\\\ 4 & 3\end{pmatrix}.
Como as duas transpostas coincidem, confirmamos (DA)^T = A^T\,D^T.

Resposta

(a)
A+B=\begin{pmatrix}2 & 4 & 0\\\ 4 & -2 & 4\end{pmatrix},\quad B+C\text{ não definida},\quad B-A=\begin{pmatrix}-2 & -2 & -2\\\ 4 & 0 & 0\end{pmatrix},ã
3B=\begin{pmatrix}0 & 3 & -3\\\ 12 & -3 & 6\end{pmatrix},\quad A\,B\text{ não definido},\quad C\,A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 5\\\ 6 & 10 & 1\end{pmatrix},ã
C\,E=\begin{pmatrix}-1\\\ 4\end{pmatrix},\quad E\,C\text{ não definido},\quad B^T=\begin{pmatrix}0 & 4\\\ 1 & -1\\\ -1 & 2\end{pmatrix},ã
(CA)^T=\begin{pmatrix}2 & 6\\\ 1 & 10\\\ 5 & 1\end{pmatrix},\quad A^T\,C^T=\begin{pmatrix}2 & 6\\\ 1 & 10\\\ 5 & 1\end{pmatrix}.
(b) (DA)^T = A^T\,D^T = \begin{pmatrix}4 & 2\\\ 5 & 2\\\ 4 & 3\end{pmatrix}.
Portanto todas as contas conferem.

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