1. (Simon & Blume - Exercício 8.14)
    (a) Prove a seguinte afirmação. Se P é uma matriz de permutação m \times m e A é m \times n, então P A é a matriz A com suas linhas permutadas de acordo com P. Se p_{i j}=1, então a i-ésima linha de P A será a j-ésima linha de A.
    (b) Enuncie e prove uma afirmação similar sobre a permutação de colunas pela multiplicação A P.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com matrizes de permutação e mostrar como a multiplicação à esquerda e à direita permuta linhas ou colunas de uma matriz dada.
Conteúdo: multiplicação de matrizes e estrutura de uma matriz de permutação (cada linha e cada coluna têm exatamente um 1 e zeros nos demais lugares).
Vamos precisar usar a definição de elemento de produto de matrizes:
(PA)_{i k} = \sum_{j=1}^m p_{i j}\,a_{j k}, \quad (AP)_{k j} = \sum_{t=1}^n a_{k t}\,p_{t j}.

Passo 2

Prova de (a): seja P uma matriz de permutação m\times m e A uma matriz m\times n. Considere o elemento genérico da linha i e coluna k de PA:
(PA)_{i k} \;=\;\sum_{j=1}^{m} p_{i j}\,a_{j k}.
Como P é permutação, há exatamente um índice j tal que p_{i j}=1 e para todo j'\neq j vale p_{i j'}=0. Logo a soma acima reduz-se a
(PA)_{i k} = 1\cdot a_{j k} + \sum_{j'\neq j}0\cdot a_{j'k} = a_{j k}.
Isto mostra que, na matriz PA, a linha i — coleção dos elementos \{(PA)_{i1},\dots,(PA)_{i n}\} — coincide com a linha j de A.

Passo 3

Conclusão de (a): se p_{i j}=1, então a i-ésima linha de PA é exatamente a j-ésima linha de A. Assim PA resulta de permutar as linhas de A segundo P.

Passo 4

Enunciado de (b): seja agora A uma matriz m\times n e P uma matriz de permutação n\times n. Então a multiplicação AP permuta colunas de A de acordo com P: se p_{i j}=1, a j-ésima coluna de AP é a i-ésima coluna de A.

Passo 5

Prova de (b): considere o elemento genérico da linha k e coluna j de AP:
(AP)_{k j} \;=\;\sum_{t=1}^{n} a_{k t}\,p_{t j}.
Como P é permutação em \{1,\dots,n\}, existe exatamente um i tal que p_{i j}=1 e para todo t\neq i, p_{t j}=0. Logo
(AP)_{k j} = a_{k i}.
Isso mostra que, na matriz AP, a coluna j — formada por \{(AP)_{1 j},\dots,(AP)_{m j}\} — coincide com a coluna i de A.

Resposta

(a) Se P é m\times m e A é m\times n, então
(PA)_{i k} = \sum_{j=1}^{m} p_{i j} a_{j k}
reduz-se a a_{j k} quando p_{i j}=1. Portanto a i-ésima linha de PA é a j-ésima linha de A.
(b) Se A é m\times n e P é n\times n, então
(AP)_{k j} = \sum_{t=1}^{n} a_{k t} p_{t j}
reduz-se a a_{k i} quando p_{i j}=1. Portanto a j-ésima coluna de AP é a i-ésima coluna de A.

Exercícios relacionados