- (Simon & Blume - Exercício 8.14)
(a) Prove a seguinte afirmação. Se
é uma matriz de permutação
e
é
, então
é a matriz
com suas linhas permutadas de acordo com
. Se
, então a i-ésima linha de
será a j-ésima linha de
.
(b) Enuncie e prove uma afirmação similar sobre a permutação de colunas pela multiplicação
.
(a) Prove a seguinte afirmação. Se
(b) Enuncie e prove uma afirmação similar sobre a permutação de colunas pela multiplicação
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com matrizes de permutação e mostrar como a multiplicação à esquerda e à direita permuta linhas ou colunas de uma matriz dada.
Conteúdo: multiplicação de matrizes e estrutura de uma matriz de permutação (cada linha e cada coluna têm exatamente um 1 e zeros nos demais lugares).
Vamos precisar usar a definição de elemento de produto de matrizes:
Conteúdo: multiplicação de matrizes e estrutura de uma matriz de permutação (cada linha e cada coluna têm exatamente um 1 e zeros nos demais lugares).
Vamos precisar usar a definição de elemento de produto de matrizes:
Passo 2
Prova de (a): seja
uma matriz de permutação
e
uma matriz
. Considere o elemento genérico da linha
e coluna
de
:
Como
é permutação, há exatamente um índice
tal que
e para todo
vale
. Logo a soma acima reduz-se a
Isto mostra que, na matriz
, a linha
— coleção dos elementos
— coincide com a linha
de
.
Passo 3
Conclusão de (a): se
, então a
-ésima linha de
é exatamente a
-ésima linha de
. Assim
resulta de permutar as linhas de
segundo
.
Passo 4
Enunciado de (b): seja agora
uma matriz
e
uma matriz de permutação
. Então a multiplicação
permuta colunas de
de acordo com
: se
, a
-ésima coluna de
é a
-ésima coluna de
.
Passo 5
Prova de (b): considere o elemento genérico da linha
e coluna
de
:
Como
é permutação em
, existe exatamente um
tal que
e para todo
,
. Logo
Isso mostra que, na matriz
, a coluna
— formada por
— coincide com a coluna
de
.
Resposta
(a) Se
é
e
é
, então
reduz-se a
quando
. Portanto a
-ésima linha de
é a
-ésima linha de
.
(b) Se é
e
é
, então
(b) Se
reduz-se a
quando
. Portanto a
-ésima coluna de
é a
-ésima coluna de
.