Simplifica tanto quanto possível as seguintes expressões algébricas
\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\;-\;\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}.
O conteúdo principal é manipulação de radicais e racionalização de denominadores.

Passo 2

Simplificamos a primeira fração:
\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Racionalizamos a segunda fração multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2}-1:
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2-1} = 2 - \sqrt{2}.

Passo 4

Substituímos no conjunto original:
\Bigl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) - (2 - \sqrt{2}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} - 2 + \sqrt{2} = -1 + \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}.
Como \sqrt{2} = \tfrac{2}{\sqrt{2}}, temos
\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}},
logo a expressão vira
-1 + \frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Racionalizamos -1 + \tfrac{1}{\sqrt{2}}. Escrevendo em único quociente:
-1 + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}
e multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2}, obtemos
\frac{-\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{-2 + \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - 2}{2}.

Resposta

\frac{\sqrt{2} - 2}{2}.

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